calcular o fluxo do campo E = x i + y j + z k através do cubo com vértices +- 1, +- 1, +- 1 ). (Não utilize o teorema de Gauss).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o fluxo do campo elétrico através de um cubo cujos cantos estão em . Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais e cálculo de fluxos, especificamente usando integrais de superfície. A gente vai precisar calcular o fluxo em cada uma das seis faces do cubo e depois somar tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é dado por:
Aqui, é o vetor normal à superfície. No nosso caso, o cubo tem seis faces, então vamos calcular esse integral para cada face individualmente.

Passo 3

Vamos identificar as seis faces do cubo:
  1. Face frontal:
  2. Face traseira:
  3. Face superior:
  4. Face inferior:
  5. Face direita:
  6. Face esquerda:
Para cada face, vamos determinar o vetor normal e substituir na fórmula do fluxo.

Passo 4

Vamos começar com a face frontal :
  • Vetor normal: (apontando para fora)
  • Campo na face:
  • Produto escalar
  • A área da face é (já que vai de a em e )
  • Fluxo:

Passo 5

Agora, a face traseira :
  • Vetor normal: (apontando para fora)
  • Campo na face:
  • Produto escalar
  • A área da face é novamente 4
  • Fluxo:

Passo 6

Agora, a face superior :
  • Vetor normal:
  • Campo na face:
  • Produto escalar
  • Área da face: 4
  • Fluxo:

Passo 7

Face inferior :
  • Vetor normal:
  • Campo na face:
  • Produto escalar
  • Área da face: 4
  • Fluxo:

Passo 8

Face direita :
  • Vetor normal:
  • Campo na face:
  • Produto escalar
  • Área da face: 4
  • Fluxo:

Passo 9

Face esquerda :
  • Vetor normal:
  • Campo na face:
  • Produto escalar
  • Área da face: 4
  • Fluxo:

Resposta

Somando os fluxos de todas as seis faces: . Portanto, o fluxo total do campo através do cubo é 24.

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