calcular o fluxo do campo
através do cubo com vértices
). (Não utilize o teorema de Gauss).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o fluxo do campo elétrico
através de um cubo cujos cantos estão em
. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais e cálculo de fluxos, especificamente usando integrais de superfície. A gente vai precisar calcular o fluxo em cada uma das seis faces do cubo e depois somar tudo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
é dado por:
Aqui,
é o vetor normal à superfície. No nosso caso, o cubo tem seis faces, então vamos calcular esse integral para cada face individualmente.
Passo 3
Vamos identificar as seis faces do cubo:
- Face frontal:
- Face traseira:
- Face superior:
- Face inferior:
- Face direita:
- Face esquerda:
Para cada face, vamos determinar o vetor normal
e substituir na fórmula do fluxo.
Passo 4
Vamos começar com a face frontal
:
- Vetor normal:
(apontando para fora) - Campo
na face: - Produto escalar
- A área da face é
(já que vai de a em e ) - Fluxo:
Passo 5
Agora, a face traseira
:
- Vetor normal:
(apontando para fora) - Campo
na face: - Produto escalar
- A área da face é novamente 4
- Fluxo:
Passo 6
Agora, a face superior
:
- Vetor normal:
- Campo
na face: - Produto escalar
- Área da face: 4
- Fluxo:
Passo 7
Face inferior
:
- Vetor normal:
- Campo
na face: - Produto escalar
- Área da face: 4
- Fluxo:
Passo 8
Face direita
:
- Vetor normal:
- Campo
na face: - Produto escalar
- Área da face: 4
- Fluxo:
Passo 9
Face esquerda
:
- Vetor normal:
- Campo
na face: - Produto escalar
- Área da face: 4
- Fluxo:
Resposta
Somando os fluxos de todas as seis faces:
. Portanto, o fluxo total do campo
através do cubo é 24.