Considere o elipsoide .
b) Determine equações paramétricas da reta que é normal ao elipsoide no ponto ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre um elipsoide dado pela equação . A tarefa é encontrar as equações paramétricas de uma reta que seja normal ao elipsoide no ponto . Para isso, vamos precisar entender o conceito de normal a uma superfície e como encontrar a direção dessa reta usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal ao elipsoide no ponto dado. Em geometria, o vetor normal é perpendicular à superfície naquele ponto. Para encontrar esse vetor, usamos o gradiente da função que define o elipsoide.
A função que representa o elipsoide é:
O gradiente de , , nos dá o vetor normal:
Calculando as derivadas parciais:
Então, no ponto :
Passo 3
Agora que temos o vetor normal e o ponto , podemos escrever as equações paramétricas da reta normal. As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
Onde é o ponto inicial e é o vetor diretor da reta. Substituindo pelos valores que temos:
Resposta
As equações paramétricas da reta normal ao elipsoide no ponto são: