Prove que é solução da equação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função
é uma solução da equação de Laplace, que é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a equação de Laplace e como calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o operador Laplaciano. Em duas dimensões, ele é definido como:
Isso significa que precisamos calcular as segundas derivadas de
em relação a
e a
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, a segunda derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
E a segunda derivada em relação a
:
Passo 5
Agora que temos as segundas derivadas, vamos somá-las conforme a definição da equação de Laplace:
Resposta
Concluímos que
, portanto, a função
é realmente uma solução da equação de Laplace.