Prove que é solução da equação u(x, y) = e^x sen(y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função é uma solução da equação de Laplace, que é . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a equação de Laplace e como calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o operador Laplaciano. Em duas dimensões, ele é definido como:
Isso significa que precisamos calcular as segundas derivadas de em relação a e a .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de em relação a :
Agora, a segunda derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de em relação a :
E a segunda derivada em relação a :

Passo 5

Agora que temos as segundas derivadas, vamos somá-las conforme a definição da equação de Laplace:

Resposta

Concluímos que , portanto, a função é realmente uma solução da equação de Laplace.

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