Suponha que
e que
seja diferenciável em
com
. Uma equação do plano tangente à superficie de nível
2 no ponto
é
; as equações paramétricas da reta normal à superfície
,
,
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
que é diferenciável no ponto
e sabemos que
. Também nos foi dado o gradiente da função nesse ponto, que é
. Nosso objetivo é encontrar:
- A equação do plano tangente à superfície de nível
no ponto dado. - As equações paramétricas da reta normal a essa superfície no mesmo ponto.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e plano tangente.
Passo 2
Para encontrar a equação do plano tangente, usamos a fórmula geral do plano tangente a uma superfície de nível
no ponto
:
Aqui,
é o gradiente da função no ponto dado.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula com os valores que temos:
Simplificando:
Essa é a equação do plano tangente.
Passo 4
Agora, para encontrar as equações paramétricas da reta normal à superfície no ponto
, usamos o fato de que o gradiente é perpendicular à superfície. Portanto, a direção da reta normal é dada pelo gradiente
.
As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
onde
é o vetor direção.
Passo 5
Aplicando os valores que temos:
Essas são as equações paramétricas da reta normal.
Resposta
A equação do plano tangente é
.
As equações paramétricas da reta normal são: