Suponha que f(1, 0, -1) = 2 e que f(x, y, z) seja diferenciável em (1, 0, -1) com ∇f(1,0,-1) = <2,1,1>. Uma equação do plano tangente à superficie de nível f(x, y, z) = 2 no ponto (1, 0, -1) é \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 ; as equações paramétricas da reta normal à superfície
x = \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 , y = \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 , z = \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que é diferenciável no ponto e sabemos que . Também nos foi dado o gradiente da função nesse ponto, que é . Nosso objetivo é encontrar:
  1. A equação do plano tangente à superfície de nível no ponto dado.
  2. As equações paramétricas da reta normal a essa superfície no mesmo ponto.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e plano tangente.

Passo 2

Para encontrar a equação do plano tangente, usamos a fórmula geral do plano tangente a uma superfície de nível no ponto :
Aqui, é o gradiente da função no ponto dado.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula com os valores que temos:
Simplificando:
Essa é a equação do plano tangente.

Passo 4

Agora, para encontrar as equações paramétricas da reta normal à superfície no ponto , usamos o fato de que o gradiente é perpendicular à superfície. Portanto, a direção da reta normal é dada pelo gradiente .
As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
onde é o vetor direção.

Passo 5

Aplicando os valores que temos:
Essas são as equações paramétricas da reta normal.

Resposta

A equação do plano tangente é .
As equações paramétricas da reta normal são:

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