Encontre uma equação para o plano tangente e equações paramétricas para a reta normal à superfície no ponto P.
c) z = 4 x^3 y^2 + 2 y ; P(1,-2,12)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações paramétricas da reta normal à superfície no ponto . A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo diferencial, mais especificamente derivadas parciais e conceitos de planos tangentes e retas normais a superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a equação da superfície é dada por:
E o ponto em questão é .

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de em relação a e . Isso porque o plano tangente é determinado pelas inclinações da superfície nos eixos e .
Calculando a derivada parcial em relação a :
Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para em :
Para em :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, a equação do plano tangente na forma geral é:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
Então, a equação do plano tangente é:

Passo 7

Agora, para encontrar as equações paramétricas da reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais:

Passo 8

As equações paramétricas da reta normal são dadas por:
onde são as componentes do vetor normal e é o ponto .
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:
E as equações paramétricas da reta normal são:

Exercícios relacionados