Encontre uma equação para o plano tangente e equações paramétricas para a reta normal à superfície no ponto .
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações paramétricas da reta normal à superfície no ponto . A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo diferencial, mais especificamente derivadas parciais e conceitos de planos tangentes e retas normais a superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a equação da superfície é dada por:
E o ponto em questão é .
Passo 3
Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de em relação a e . Isso porque o plano tangente é determinado pelas inclinações da superfície nos eixos e .
Calculando a derivada parcial em relação a :
Calculando a derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para em :
Para em :
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, a equação do plano tangente na forma geral é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 7
Agora, para encontrar as equações paramétricas da reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais:
Passo 8
As equações paramétricas da reta normal são dadas por:
onde são as componentes do vetor normal e é o ponto .
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é: