Calcular a frequência natural de um cilindro hidráulico de duplo efeito, não-diferencial que está acoplado a uma carga inercial de 2 toneladas, sendo o diâmetro do êmbolo ( de ) de 50 mm e o diâmetro da haste (dh) de 25 mm. Considera-se beta=12,4 times 10^8 Pa e o curso total do atuador (xt) de 0,45 m. Efetuar os cálculos para: a) VA=VB b ) VA=0,8 VB.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a frequência natural de um cilindro hidráulico de duplo efeito, não-diferencial, que está ligado a uma carga inercial de 2 toneladas. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de hidráulica e vibrações mecânicas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é frequência natural. Ela é a frequência na qual um sistema tende a vibrar quando não há forças externas atuando sobre ele além das internas. No caso do cilindro hidráulico, essa frequência depende da rigidez do sistema (como a compressibilidade do fluido) e da massa acoplada a ele.

Passo 3

Vamos listar os dados fornecidos:
  • Carga inercial (massa, ) = 2 toneladas = 2000 kg
  • Diâmetro do êmbolo ( ) = 50 mm = 0,05 m
  • Diâmetro da haste ( ) = 25 mm = 0,025 m
  • Módulo de compressibilidade ( ) = Pa
  • Curso total do atuador ( ) = 0,45 m
  • Volume A ( ) e Volume B ( ) variando conforme os casos a) e b)

Passo 4

Primeiro, vamos calcular as áreas do êmbolo e da haste, que são necessárias para determinar o volume de fluido.
A área do êmbolo ( Ae = pi times de^24 ) é dada por:
Ah = pi times dh^24
A área da haste ( ) é:

Passo 5

Calculando as áreas:
Ae = pi times (0,05)^24 = pi times 0,00254 approx 0,0019635 , m^2
Ah = pi times (0,025)^24 = pi times 0,0006254 approx 0,0004909 , m^2

Passo 6

Agora, vamos calcular o volume total do atuador ( Vt = VA + VB ). Esse volume é a soma dos volumes das câmaras nos dois lados do cilindro:
Onde e são os volumes nas posições A e B, respectivamente. Vamos considerar o curso total para determinar esses volumes.

Passo 7

Para um cilindro de duplo efeito, o volume VA = Ae times xt é o volume deslocado pelo êmbolo, e VB = Ah times xt pelo movimento da haste. Assim:

Passo 8

Calculando VA = 0,0019635 times 0,45 approx 0,0008846 , m^3 e VB = 0,0004909 times 0,45 approx 0,0002209 , m^3 :

Passo 9

Agora, vamos determinar a frequência natural ( fn = 12pi raizAe^2 times betam times Vt ) usando a fórmula:
Onde:
  • é a área do êmbolo
  • é o módulo de compressibilidade
  • é a massa
  • é o volume total

Passo 10

Vamos calcular para os dois casos:
a)
b)

Passo 11

Caso a) VA = VB = Vt2
Se VA approx 0,0008846 , m^3 VB approx 0,0002209 , m^3 , então:
VA = VB = Vt2
Como já calculamos Vt = VA + VB = 2 times VA = 2 times VB e Vt = 2 times VA = 2 times 0,0008846 = 0,0017692 , m^3 anteriormente, verificamos se eles são iguais. No nosso cálculo:
Eles não são iguais, então precisamos ajustar para que .
Para isso, definimos:
Então:
Mas como , vamos recalcular :

Passo 12

Agora, aplicamos na fórmula da frequência natural:
fn = 12pi raizAe^2 times betam times Vt
Substituindo os valores:
fn = 12pi raiz(0,0019635)^2 times 12,4 times 10^82000 times 0,0017692

Passo 13

Calculando os valores dentro da raiz:
(0,0019635)^2 = 3,8559 times 10^-6 , m^4
Multiplicando pelo módulo de compressibilidade:
3,8559 times 10^-6 times 12,4 times 10^8 = 4,7785 times 10^3
Dividindo pelo produto da massa e volume total:
2000 times 0,0017692 = 3,5384
Então:
4,7785 times 10^33,5384 approx 1,351 times 10^3

Passo 14

Agora, tirando a raiz quadrada:
raiz1,351 times 10^3 approx 36,75
Finalmente, dividindo por fn = 36,752 times 3,1416 approx 36,756,2832 approx 5,85 , Hz :

Passo 15

Caso b) VA = 0,8 , VB Vt = VA + VB = 0,8 , VB + VB = 1,8 , VB
Aqui, VB = Ah times xt = 0,0004909 times 0,45 approx 0,0002209 , m^3 . Vamos expressar VA = 0,8 times 0,0002209 approx 0,0001767 , m^3 Vt = 1,8 times 0,0002209 approx 0,0003976 , m^3 em termos de :
Vamos primeiro determinar :
Então:

Passo 16

Aplicando na fórmula da frequência natural:
fn = 12pi raizAe^2 times betam times Vt
Substituindo os valores:
fn = 12pi raiz(0,0019635)^2 times 12,4 times 10^82000 times 0,0003976

Passo 17

Calculando os valores dentro da raiz:
(0,0019635)^2 = 3,8559 times 10^-6 , m^4
Multiplicando pelo módulo de compressibilidade:
3,8559 times 10^-6 times 12,4 times 10^8 = 4,7785 times 10^3
Dividindo pelo produto da massa e volume total:
2000 times 0,0003976 = 0,7952
Então:
4,7785 times 10^30,7952 approx 6,015 times 10^3

Passo 18

Agora, tirando a raiz quadrada:
raiz6,015 times 10^3 approx 77,58
Finalmente, dividindo por fn = 77,582 times 3,1416 approx 77,586,2832 approx 12,34 , Hz :

Resposta

a) A frequência natural é aproximadamente 5,85 Hz.
b) A frequência natural é aproximadamente 12,34 Hz.

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Obs.: Considerando uma entrada do tipo u(t)=U sen(omega t), a saída do sistema, em regime permanente, será: y(t)=Y sen(omega t+phi) onde:
Para sistemas de 1^a ordem: Y=Uraiz1+omega^2 tau^2, phi=-arctg(omega tau)
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