(STRINGER, 1976) A pressão do líquido numa canalização varia senoidalmente entre 100 e 200 bar numa freqüência de
(
). Calcular as leituras de pressão superior e inferior dados por um manômetro de Bourdon, supondo-o como um sistema de
ordem, com a constante de tempo igual a
. Efetuar o mesmo cálculo caso as medidas sejam feitas com um transdutor extensométrico, que corresponde a um sistema de
ordem, cuja freqüência natural é da ordem de
e a razão de amortecimento de 0,9 .
Obs.: Considerando uma entrada do tipo
, a saída do sistema, em regime permanente, será:
onde:
Para sistemas de
ordem:
Para sistemas de
ordem:
( 153,97 e 146,03 com
e 100,0086 com
)
Obs.: Considerando uma entrada do tipo
Para sistemas de
Para sistemas de
( 153,97 e 146,03 com
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma canalização onde a pressão do líquido varia senoidalmente entre 100 e 200 bar, com uma frequência de 10 Hz (ou 20π rad/s). Precisamos calcular como dois instrumentos diferentes—um manômetro de Bourdon e um transdutor extensométrico—registram essa pressão. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas de primeira e segunda ordem, respectivamente, e aplicar as fórmulas de resposta em regime permanente para sinais senoidais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a variação da pressão. A pressão varia de 100 a 200 bar, então podemos determinar a amplitude e a média dessa variação. A amplitude
é metade da diferença entre o valor máximo e mínimo:
A média
é:
Então, a variação da pressão pode ser expressa como:
Passo 3
Vamos começar com o manômetro de Bourdon, que é um sistema de primeira ordem. A constante de tempo
é dada como
. Usaremos a fórmula para a amplitude de saída
e o ângulo de fase
:
Onde:
Passo 4
Calculando
para o manômetro de Bourdon:
Calculando o valor numérico:
Agora, calculando o ângulo de fase
:
Passo 5
Agora, vamos para o transdutor extensométrico, que é um sistema de segunda ordem com frequência natural
e razão de amortecimento
. Usaremos as fórmulas para
e
:
Onde:
Passo 6
Calculando
:
Agora, calculando
:
E para o ângulo de fase
:
Resposta
As leituras de pressão são:
- Manômetro de Bourdon: amplitude de aproximadamente 3,97 bar com um deslocamento de fase de -85,45°.
- Transdutor extensométrico: amplitude de aproximadamente 49,99 bar com um deslocamento de fase de -1,72°.