(STRINGER, 1976) A pressão do líquido numa canalização varia senoidalmente entre 100 e 200 bar numa freqüência de 10 Hz ( 20 pi rad / s ). Calcular as leituras de pressão superior e inferior dados por um manômetro de Bourdon, supondo-o como um sistema de 1^a ordem, com a constante de tempo igual a 1 / 5 s. Efetuar o mesmo cálculo caso as medidas sejam feitas com um transdutor extensométrico, que corresponde a um sistema de 2^a ordem, cuja freqüência natural é da ordem de 600 Hz e a razão de amortecimento de 0,9 .
Obs.: Considerando uma entrada do tipo u(t)=U sen(omega t), a saída do sistema, em regime permanente, será: y(t)=Y sen(omega t+phi) onde:
Para sistemas de 1^a ordem: Y=Uraiz1+omega^2 tau^2, phi=-arctg(omega tau)
Para sistemas de 2^a ordem: Y=Uraiz(1-r^2)^2+4 zeta^2 r^2, r=omegaomegan, phi=-arctg(2 zeta r1-r^2)
( 153,97 e 146,03 com -85,45^circ ; 199,9914 e 100,0086 com -1,72^circ )

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma canalização onde a pressão do líquido varia senoidalmente entre 100 e 200 bar, com uma frequência de 10 Hz (ou 20π rad/s). Precisamos calcular como dois instrumentos diferentes—um manômetro de Bourdon e um transdutor extensométrico—registram essa pressão. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas de primeira e segunda ordem, respectivamente, e aplicar as fórmulas de resposta em regime permanente para sinais senoidais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a variação da pressão. A pressão varia de 100 a 200 bar, então podemos determinar a amplitude e a média dessa variação. A amplitude U = 200, bar - 100, bar2 = 50, bar é metade da diferença entre o valor máximo e mínimo:
Pmédia = 200, bar + 100, bar2 = 150, bar
A média u(t) = 150, bar + 50, bar cdot sin(20pi t) é é:
é
Então, a variação da pressão pode ser expressa como:

Passo 3

Vamos começar com o manômetro de Bourdon, que é um sistema de primeira ordem. A constante de tempo Y = Uraiz1 + omega^2 tau^2, phi = -arctan(omega tau) é dada como . Usaremos a fórmula para a amplitude de saída e o ângulo de fase :
Onde:

Passo 4

Calculando Y = 50raiz1 + (20pi)^2 times (0,2)^2 = 50raiz1 + (400pi^2) times 0,04 = 50raiz1 + 16pi^2 para o manômetro de Bourdon:
16pi^2 approx 16 times 9,87 approx 158
Calculando o valor numérico:
Y approx 50raiz1 + 158 = 50raiz159 approx 5012,6 approx 3,97, bar
phi = -arctan(20pi times 0,2) = -arctan(4pi) approx -arctan(12,57) approx -85,45^circ
Agora, calculando o ângulo de fase :

Passo 5

Agora, vamos para o transdutor extensométrico, que é um sistema de segunda ordem com frequência natural Y = Uraiz(1 - r^2)^2 + (2zeta r)^2, r = omegaomegan e razão de amortecimento . Usaremos as fórmulas para e :
Onde:

Passo 6

Calculando r = 20pi1200pi = 201200 = 160 approx 0,0167 :
Y = 50raiz(1 - (0,0167)^2)^2 + (2 times 0,9 times 0,0167)^2 approx 50raiz(1 - 0,00028)^2 + (0,03006)^2 approx 50raiz0,99944 + 0,00090 approx 50raiz1,00034 approx 49,99, bar
Agora, calculando phi = -arctan(2 times 0,9 times 0,01671 - (0,0167)^2) approx -arctan(0,030060,9997) approx -arctan(0,03007) approx -1,72^circ :
E para o ângulo de fase :

Resposta

As leituras de pressão são:
  • Manômetro de Bourdon: amplitude de aproximadamente 3,97 bar com um deslocamento de fase de -85,45°.
  • Transdutor extensométrico: amplitude de aproximadamente 49,99 bar com um deslocamento de fase de -1,72°.

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