5- Ar escoa de um reservatório mantido a 30^circ C e a uma pressão de 200 kPa absolutos, através de um bocal convergente-divergente. O diâmetro na garganta é de 10 cm. Determine o diâme- tro do bocal na seção onde o número de Mach é 3,0 . Utilize apenas equações.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de dinâmica dos fluidos que trata do fluxo de ar em um bocal convergente-divergente. As informações que temos são:
  • Temperatura: 30°C
  • Pressão: 200 kPa (absolutos)
  • Diâmetro na garganta (A)*: 10 cm
  • Número de Mach na seção desejada (M): 3,0
Nosso objetivo é descobrir qual o diâmetro do bocal na parte onde o número de Mach é 3,0. Para isso, vamos usar as equações do fluxo compressível isentrópico.

Passo 2

Primeiro, precisamos relacionar a área do bocal com o número de Mach. Para fluxos isentrópicos, existe uma equação que liga a razão de áreas AA^* = 1M [ 2gamma +1 (1 + gamma -12 M^2) ]^gamma +12(gamma -1) com o número de Mach . A fórmula é:
Aqui, é a razão de capacidades térmicas do ar, que vale aproximadamente 1,4.

Passo 3

Vamos calcular a razão de áreas AA^* = 13 [ 21,4 +1 (1 + 1,4 -12 times 3^2) ]^1,4 +12(1,4 -1) para 22,4 = 56 e 0,42 times 9 = 1,8 :
1 + 1,8 = 2,8
Simplificando passo a passo:
  1. AA^* = 13 ( 56 times 2,8 )^2,40,8 e 56 times 2,8 = 146 approx 2,333
  2. Dentro da raiz:
2,40,8 = 3
Então:
AA^* = 13 times (2,333)^3 approx 13 times 12,7 approx 4,23
Agora, a expressão fica:
Calculando dentro da potência:
E o expoente:
Portanto:

Passo 4

Agora, sabemos que a área na garganta A^* = pi4 (D^*)^2 = pi4 times (10)^2 = pi4 times 100 approx 78,54 , cm^2 está relacionada ao diâmetro cm pela fórmula da área do círculo:

Passo 5

Com a razão de áreas A = 4,23 times 78,54 approx 332,3 , cm^2 e , podemos encontrar a área na seção onde :

Passo 6

Agora, vamos encontrar o diâmetro D = 2 raizApi = 2 raiz332,3pi approx 2 times raiz105,7 approx 2 times 10,28 approx 20,56 , cm correspondente a essa área . Usamos a fórmula inversa da área do círculo:

Resposta

O diâmetro do bocal na seção onde o número de Mach é 3,0 é aproximadamente 20,56 cm.

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a)
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