5- Ar escoa de um reservatório mantido a
e a uma pressão de
absolutos, através de um bocal convergente-divergente. O diâmetro na garganta é de
. Determine o diâme- tro do bocal na seção onde o número de Mach é 3,0 . Utilize apenas equações.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício de dinâmica dos fluidos que trata do fluxo de ar em um bocal convergente-divergente. As informações que temos são:
- Temperatura: 30°C
- Pressão: 200 kPa (absolutos)
- Diâmetro na garganta (A)*: 10 cm
- Número de Mach na seção desejada (M): 3,0
Nosso objetivo é descobrir qual o diâmetro do bocal na parte onde o número de Mach é 3,0. Para isso, vamos usar as equações do fluxo compressível isentrópico.
Passo 2
Primeiro, precisamos relacionar a área do bocal com o número de Mach. Para fluxos isentrópicos, existe uma equação que liga a razão de áreas
com o número de Mach
. A fórmula é:
Aqui,
é a razão de capacidades térmicas do ar, que vale aproximadamente 1,4.
Passo 3
Vamos calcular a razão de áreas
para
:
Simplificando passo a passo:
-
e - Dentro da raiz:
Então:
Agora, a expressão fica:
Calculando dentro da potência:
E o expoente:
Portanto:
Passo 4
Agora, sabemos que a área na garganta
está relacionada ao diâmetro
cm pela fórmula da área do círculo:
Passo 5
Com a razão de áreas
e
, podemos encontrar a área
na seção onde
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o diâmetro
correspondente a essa área
. Usamos a fórmula inversa da área do círculo:
Resposta
O diâmetro do bocal na seção onde o número de Mach é 3,0 é aproximadamente 20,56 cm.