Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função onde ela existir. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções compostas envolvendo exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos uma função dentro de outra função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função interna e a função externa na nossa expressão . A função externa é a exponencial , onde . Então, para aplicar a regra da cadeia, precisamos derivar a função externa em relação a e depois multiplicar pela derivada da função interna em relação a .

Passo 3

Vamos derivar a função externa em relação a . A derivada de em relação a é simplesmente . Então, até agora, temos:

Passo 4

Agora, precisamos derivar a função interna em relação a . Aqui, temos um produto de duas funções: e . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
Sabemos que e (a derivada de é , e aplicamos a regra da cadeia para o argumento ).
Então:

Passo 6

Agora, voltamos à regra da cadeia. A derivada de em relação a é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna:

Resposta

A derivada da função é:

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