Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função
onde ela existir. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções compostas envolvendo exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos uma função dentro de outra função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função interna e a função externa na nossa expressão
. A função externa é a exponencial
, onde
. Então, para aplicar a regra da cadeia, precisamos derivar a função externa em relação a
e depois multiplicar pela derivada da função interna
em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar a função externa
em relação a
. A derivada de
em relação a
é simplesmente
. Então, até agora, temos:
Passo 4
Agora, precisamos derivar a função interna
em relação a
. Aqui, temos um produto de duas funções:
e
. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Sabemos que
e
(a derivada de
é
, e aplicamos a regra da cadeia para o argumento
).
Então:
Passo 6
Agora, voltamos à regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna:
Resposta
A derivada da função
é:
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