Calcular as funções associadas de Legendre para n = 1, 2, 3 e 1 <= m <= n com o uso da formula de Rodrigues:
P_n^m(x) = 1/(2^n n!) * (1 - x^2)^(m/2) * d^(n+m)/(d x^(n+m)) * (x^2 - 1)^n
Apresentar os resultados em termos da variável theta: x = cos(theta).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as funções associadas de Legendre para e usando a fórmula de Rodrigues. Essas funções são importantes em várias áreas da física e matemática, especialmente em problemas de potencial e equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a fórmula de Rodrigues, que envolve derivadas de ordem alta. Além disso, vamos expressar os resultados em termos da variável , onde .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula de Rodrigues para as funções associadas de Legendre:
Aqui, e são inteiros não negativos, e . Vamos calcular isso passo a passo para cada valor de e .

Passo 3

Vamos começar com e .
Simplificando:
Calculando a derivada:
Primeira derivada de é .
Segunda derivada é .
Então:
Agora, substituindo :

Passo 4

Agora, vamos para com e .
Primeiro, para :
Simplificando:
Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Então:
Substituindo :
Agora, para :
Simplificando:
Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Então:
Substituindo :

Passo 5

Por fim, vamos para com .
Primeiro, para :
Simplificando:
Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Então:
Simplificando mais:
Substituindo :
Agora, para :
Simplificando:
Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Quinta derivada:
Então:
Substituindo :
Por fim, para :
Simplificando:
Calculando as derivadas:
Continuando as derivadas até a sexta ordem:
1ª:
2ª:
3ª:
4ª:
5ª:
6ª:
Então:
Substituindo :

Resposta

As funções associadas de Legendre em termos de são:

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