Calcular as funções associadas de Legendre para
e
com o uso da formula de Rodrigues:
Apresentar os resultados em termos da variável
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as funções associadas de Legendre para
e
usando a fórmula de Rodrigues. Essas funções são importantes em várias áreas da física e matemática, especialmente em problemas de potencial e equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a fórmula de Rodrigues, que envolve derivadas de ordem alta. Além disso, vamos expressar os resultados em termos da variável
, onde
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula de Rodrigues para as funções associadas de Legendre:
Aqui,
e
são inteiros não negativos, e
. Vamos calcular isso passo a passo para cada valor de
e
.
Passo 3
Vamos começar com
e
.
Simplificando:
Calculando a derivada:
Primeira derivada de
é
.
Segunda derivada é .
Segunda derivada é
Então:
Agora, substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos para
com
e
.
Primeiro, para
:
Simplificando:
Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Então:
Substituindo
:
Agora, para
:
Simplificando:
Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Então:
Substituindo
:
Passo 5
Por fim, vamos para
com
.
Primeiro, para
:
Simplificando:
Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Então:
Simplificando mais:
Substituindo
:
Agora, para
:
Simplificando:
Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Quinta derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Quinta derivada:
Então:
Substituindo
:
Por fim, para
:
Simplificando:
Calculando as derivadas:
Continuando as derivadas até a sexta ordem:
1ª:
2ª:
3ª:
4ª:
5ª:
6ª:
Então:
Substituindo
:
Resposta
As funções associadas de Legendre em termos de
são: