Provar ortogonalidade dos harmômicos esféricos, isto é provar as relações:
integral0^2 pi integral0^pi Yn, m(theta, varphi) Yn^prime, m^prime^*(theta, varphi) sin theta d theta d varphi=de
usando a seguinte forma dos harmômicos esféricos:
Yn, m(theta, varphi)=Nn, m e^i m varphi Pn^m(cos theta),
onde Nn, m é um fator de normalização, Pn^m(cos theta) são as funções associadas de Legendre.

Passo 1

Vamos provar a ortogonalidade dos harmônicos esféricos. Isso significa mostrar que, ao multiplicar dois harmônicos esféricos diferentes e integrar sobre toda a esfera, o resultado é zero a menos que os harmônicos sejam exatamente iguais. Para resolver isso, vamos usar a forma dos harmônicos esféricos dada no enunciado:
Yn, m(theta, varphi) = Nn, m e^i m varphi Pn^m(cos theta),
onde integral0^2 pi integral0^pi Yn, m(theta, varphi) Yn^prime, m^prime^*(theta, varphi) sin theta , dtheta , dvarphi é um fator de normalização e são as funções associadas de Legendre. Precisamos calcular a integral:
e mostrar que ela é igual a , onde é a delta de Kronecker.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a expressão dos harmônicos esféricos na integral:
integral0^2 pi integral0^pi ( Nn, m e^i m varphi Pn^m(cos theta) ) ( Nn^prime, m^prime e^-i m^prime varphi Pn^prime^m^prime(cos theta) ) sin theta , dtheta , dvarphi
Note que é o conjugado do harmônico, por isso vira .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão multiplicando os termos:
Nn, m Nn^prime, m^prime integral0^2 pi e^i(m - m^prime)varphi , dvarphi integral0^pi Pn^m(cos theta) Pn^prime^m^prime(cos theta) sin theta , dtheta
Aqui, separamos a integral em duas partes: uma que depende de e outra que depende de .

Passo 4

Vamos resolver a integral em integral0^2 pi e^i(m - m^prime)varphi , dvarphi :
integral0^2 pi e^i k varphi , dvarphi = 2pi de
Sabemos que:
integral0^2 pi e^i(m - m^prime)varphi , dvarphi = 2pi de
onde . Portanto:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral em integral0^pi Pn^m(cos theta) Pn^prime^m(cos theta) sin theta , dtheta :
integral-1^1 Pn^m(x) Pn^prime^m(x) , dx = 22n + 1 (n + m)!(n - m)! de
As funções associadas de Legendre integral0^pi Pn^m(cos theta) Pn^prime^m(cos theta) sin theta , dtheta = 22n + 1 (n + m)!(n - m)! de são ortogonais, ou seja:
Fazendo a substituição e , obtemos:

Passo 6

Agora, juntando todas as partes, temos:
Nn, m Nn^prime, m^prime cdot 2pi de
Isso ocorre porque é o fator de normalização escolhido justamente para que todo o produto resulte em .

Resposta

Portanto, comprovamos que:
integral0^2 pi integral0^pi Yn, m(theta, varphi) Yn^prime, m^prime^*(theta, varphi) sin theta , dtheta , dvarphi = de

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