Provar ortogonalidade dos harmômicos esféricos, isto é provar as relações:
usando a seguinte forma dos harmômicos esféricos:
onde
é um fator de normalização,
são as funções associadas de Legendre.
Passo 1
Vamos provar a ortogonalidade dos harmônicos esféricos. Isso significa mostrar que, ao multiplicar dois harmônicos esféricos diferentes e integrar sobre toda a esfera, o resultado é zero a menos que os harmônicos sejam exatamente iguais. Para resolver isso, vamos usar a forma dos harmônicos esféricos dada no enunciado:
onde
é um fator de normalização e
são as funções associadas de Legendre. Precisamos calcular a integral:
e mostrar que ela é igual a
, onde
é a delta de Kronecker.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a expressão dos harmônicos esféricos na integral:
Note que
é o conjugado do harmônico, por isso
vira
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão multiplicando os termos:
Aqui, separamos a integral em duas partes: uma que depende de
e outra que depende de
.
Passo 4
Vamos resolver a integral em
:
Sabemos que:
onde
. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral em
:
As funções associadas de Legendre
são ortogonais, ou seja:
Fazendo a substituição
e
, obtemos:
Passo 6
Agora, juntando todas as partes, temos:
Isso ocorre porque
é o fator de normalização escolhido justamente para que todo o produto resulte em
.
Resposta
Portanto, comprovamos que: