Calcular fx e fy das seguintes funções nos pontos dados: f(x, y) = raiz(x y + x / y), P0 = (2, 1).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função de duas variáveis, , e precisamos calcular suas derivadas parciais em relação a e a no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.

Passo 3

A função pode ser escrita como:
Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para derivar em relação a . Vamos chamar a expressão dentro da raiz de :
Então,
A derivada de em relação a é:

Passo 5

Calculamos :
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 6

Simplificamos a expressão de :
Os termos se cancelam:

Passo 7

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a , denotada por . Para isso, tratamos como constante.

Passo 8

Novamente, usamos a regra da cadeia:
Onde:

Passo 9

Calculamos :

Passo 10

Substituímos de volta na expressão de :

Passo 11

Simplificamos a expressão de :

Passo 12

Agora, vamos calcular e no ponto .
Primeiro, substituímos e em :

Passo 13

Agora, substituímos e em :

Resposta

As derivadas parciais no ponto são:

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