Calcular
e
das seguintes funções nos pontos dados:
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função de duas variáveis,
, e precisamos calcular suas derivadas parciais em relação a
e a
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
Passo 3
A função
pode ser escrita como:
Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Passo 4
Aplicamos a regra da cadeia para derivar
em relação a
. Vamos chamar a expressão dentro da raiz de
:
Então,
A derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Calculamos
:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 6
Simplificamos a expressão de
:
Os termos
se cancelam:
Passo 7
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Para isso, tratamos
como constante.
Passo 8
Novamente, usamos a regra da cadeia:
Onde:
Passo 9
Calculamos
:
Passo 10
Substituímos de volta na expressão de
:
Passo 11
Simplificamos a expressão de
:
Passo 12
Agora, vamos calcular
e
no ponto
.
Primeiro, substituímos
e
em
:
Passo 13
Agora, substituímos
e
em
:
Resposta
As derivadas parciais no ponto
são: