Calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem nos seguintes itens: f(x, y) = e^(y / x) ln(x / y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como diferenciar funções que dependem de mais de uma variável e usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é um produto de duas partes: e . Então, vamos usar a regra do produto, que diz que .
Primeiro, calculemos a derivada de em relação a :
Agora, calculemos a derivada de em relação a :
Agora aplicamos a regra do produto:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, usamos a regra do produto para derivadas. A função é vezes .
Primeiro, calculemos a derivada de em relação a :
Agora, a derivada de em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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