Calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem nos seguintes itens:
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso está dentro do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é denotada por
. Isso significa que consideramos
como uma constante ao derivar em relação a
.
Passo 3
Derivando
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da derivada da exponencial, onde a derivada de
é
vezes a derivada de
. Neste caso,
, e sua derivada em relação a
é
.
Passo 4
Agora, derivando
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia para a derivada da função arco-tangente. A derivada de
é
multiplicada pela derivada de
, que neste caso é
.
Passo 5
Somando as duas derivadas parciais que calculamos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Desta vez, consideramos
como uma constante.
Passo 7
Derivando
em relação a
:
Aqui, a derivada de
é
vezes a derivada de
. Com
, a derivada de
em relação a
é
.
Passo 8
Derivando
em relação a
:
Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
é
multiplicada pela derivada de
, que aqui é
.
Passo 9
Somando as duas derivadas parciais que calculamos:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: