Calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem nos seguintes itens: f(x, y) = e^(x / y) + arctan(x / y).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso está dentro do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é denotada por . Isso significa que consideramos como uma constante ao derivar em relação a .

Passo 3

Derivando em relação a :
Aqui, usamos a regra da derivada da exponencial, onde a derivada de é vezes a derivada de . Neste caso, , e sua derivada em relação a é .

Passo 4

Agora, derivando em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia para a derivada da função arco-tangente. A derivada de é multiplicada pela derivada de , que neste caso é .

Passo 5

Somando as duas derivadas parciais que calculamos:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Desta vez, consideramos como uma constante.

Passo 7

Derivando em relação a :
Aqui, a derivada de é vezes a derivada de . Com , a derivada de em relação a é .

Passo 8

Derivando em relação a :
Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é multiplicada pela derivada de , que aqui é .

Passo 9

Somando as duas derivadas parciais que calculamos:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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