Nos itens abaixo, calcule fx(0,0) e f_y(0,0) e analise a diferenciabilidade no ponto (0,0). f(x, y) = { (x^2 * y^2) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais e diferenciabilidade. A gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto e depois ver se a função é diferenciável nesse ponto. A função dada é:
Vamos precisar usar definições de derivadas parciais e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a no ponto , ou seja, . Por definição, a derivada parcial em é:

Passo 3

Vamos substituir os valores na expressão:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a no ponto , ou seja, . Usamos a definição:

Passo 5

Substituindo os valores na expressão:
Então,

Passo 6

Com as derivadas parciais calculadas, agora vamos analisar a diferenciabilidade da função no ponto . Para isso, a função precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas parciais devem existir e serem contínuas.

Passo 7

Primeiro, verificamos a continuidade em . Olhando para o limite:
Então, a função é contínua em .

Passo 8

Já vimos que as derivadas parciais existem em e são iguais a zero. Agora, precisamos verificar se a aproximação linear:
corresponde bem à função quando se aproxima de .

Passo 9

Calculamos o limite que determina a diferenciabilidade:
Para , esse valor tende a zero, o que confirma que a função é diferenciável em .

Resposta

As derivadas parciais são e . Além disso, a função é diferenciável no ponto .

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