Nos itens abaixo, calcule
e
e analise a diferenciabilidade no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais e diferenciabilidade. A gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
e depois ver se a função é diferenciável nesse ponto. A função dada é:
Vamos precisar usar definições de derivadas parciais e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a
no ponto
, ou seja,
. Por definição, a derivada parcial em
é:
Passo 3
Vamos substituir os valores na expressão:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
no ponto
, ou seja,
. Usamos a definição:
Passo 5
Substituindo os valores na expressão:
Então,
Passo 6
Com as derivadas parciais calculadas, agora vamos analisar a diferenciabilidade da função no ponto
. Para isso, a função precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas parciais devem existir e serem contínuas.
Passo 7
Primeiro, verificamos a continuidade em
. Olhando para o limite:
Então, a função é contínua em
.
Passo 8
Já vimos que as derivadas parciais existem em
e são iguais a zero. Agora, precisamos verificar se a aproximação linear:
corresponde bem à função quando
se aproxima de
.
Passo 9
Calculamos o limite que determina a diferenciabilidade:
Para
, esse valor tende a zero, o que confirma que a função é diferenciável em
.
Resposta
As derivadas parciais são
e
. Além disso, a função
é diferenciável no ponto
.