Calcular fx e fy das seguintes funções nos pontos dados: f(x, y) = ln(x + y / (2 * x)), P0 = (1, 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai calcular as derivadas parciais e da função no ponto . A matéria aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar saber como derivar funções que envolvem logaritmos e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que é a derivada de em relação a , mantendo constante. A função é . A derivada de em relação a é .
Então, vamos derivar o argumento do logaritmo:
A derivada de em relação a é:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular , a derivada de em relação a , mantendo constante. Novamente, usamos a regra da cadeia para derivar o logaritmo:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos avaliar e no ponto .
Para :
Para :

Resposta

e .

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