Nos itens abaixo, calcule fx(0,0) e f_y(0,0) e analise a diferenciabilidade no ponto (0,0). f(x, y) = { (x^3) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto e também analisar se a função é diferenciável nesse ponto. A matéria envolvida aqui é cálculo de derivadas parciais e o conceito de diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e verificar os critérios de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a no ponto , que é . A derivada parcial é definida como o limite:
Aplicando no nosso caso:
Sabemos que , então:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a no ponto , que é . De forma similar, temos:
Aplicando no nosso caso:
Sabemos que , então:
Então:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos analisar a diferenciabilidade da função no ponto . Para que seja diferenciável em , ela precisa ser contínua nesse ponto e deve satisfazer a seguinte condição:
Sabemos que , e , então a condição fica:
Simplificando a expressão no numerador:
Então, a expressão se torna:
Agora, vamos analisar esse limite. Se considerarmos , temos:
Como o limite depende do caminho que escolhemos para tender a e nem sempre é zero, a condição para diferenciabilidade não se satisfaz.

Resposta

As derivadas parciais no ponto são e . A função não é diferenciável no ponto .

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