Nos itens abaixo, calcule
e
e analise a diferenciabilidade no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
e também analisar se a função é diferenciável nesse ponto. A matéria envolvida aqui é cálculo de derivadas parciais e o conceito de diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e verificar os critérios de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a
no ponto
, que é
. A derivada parcial
é definida como o limite:
Aplicando no nosso caso:
Sabemos que
, então:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
no ponto
, que é
. De forma similar, temos:
Aplicando no nosso caso:
Sabemos que
, então:
Então:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, vamos analisar a diferenciabilidade da função no ponto
. Para que
seja diferenciável em
, ela precisa ser contínua nesse ponto e deve satisfazer a seguinte condição:
Sabemos que
,
e
, então a condição fica:
Simplificando a expressão no numerador:
Então, a expressão se torna:
Agora, vamos analisar esse limite. Se considerarmos
, temos:
Como o limite depende do caminho que escolhemos para
tender a
e nem sempre é zero, a condição para diferenciabilidade não se satisfaz.
Resposta
As derivadas parciais no ponto
são
e
. A função
não é diferenciável no ponto
.