Calcular
e
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as segundas derivadas parciais de . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar lembrar como derivar funções que dependem de mais de uma variável e aplicar as regras de derivação adequadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Para isso, vamos tratar
como uma constante e derivar com respeito a
.
A função é . Vamos usar a regra do produto para derivar:
Sabemos que
e , pois
é constante. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
novamente para encontrar
. Aplicamos a mesma abordagem:
Novamente, usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Vamos agora encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Vamos tratar
como uma constante:
Como
é constante em relação a
, temos:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que nos dá
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Finalmente, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que nos dá
:
Como
é constante em relação a
:
Simplificando:
Resposta
As segundas derivadas parciais são: