Calcular fxx, fxy, fyx e fyy, onde f(x, y) = e^x [ x cos(y) - y sen(y) ].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as segundas derivadas parciais de . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar lembrar como derivar funções que dependem de mais de uma variável e aplicar as regras de derivação adequadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Para isso, vamos tratar como uma constante e derivar com respeito a .
A função é . Vamos usar a regra do produto para derivar:
Sabemos que e , pois é constante. Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a novamente para encontrar . Aplicamos a mesma abordagem:
Novamente, usando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 4

Vamos agora encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Vamos tratar como uma constante:
Como é constante em relação a , temos:
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que nos dá :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que nos dá :
Como é constante em relação a :
Simplificando:

Resposta

As segundas derivadas parciais são:

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