Seja f(x, y) uma função diferenciável tal que f_x(-1, -4) = 3 e fy(-1, -4) = 2. Também
beta(u, v)=(X(u, v), Y(u, v))=(e^(u v)-v cos(u), u^2-v^2)
Considerando F(u, v) = f(beta(u, v)), calcule as derivadas parciais Fu(0,2) e Fv(0.2).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função diferenciável com derivadas parciais conhecidas em um ponto específico . Além disso, temos uma outra função vetorial que mapeia os parâmetros e para novos valores de e . Queremos encontrar as derivadas parciais de em . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função . Ela está definida como:
Isso significa que:
Essas são as expressões para e em termos de e .

Passo 3

Agora, definimos . Para encontrar as derivadas parciais e , vamos aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que:
onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e são as derivadas parciais de e em relação a e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de e :

Passo 5

Agora, precisamos avaliar todas essas derivadas no ponto . Primeiro, vamos encontrar :
Portanto, . Sabemos que e .

Passo 6

Agora, vamos avaliar as derivadas de e em :

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da cadeia usando os valores obtidos:

Resposta

As derivadas parciais são e .

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