Seja
uma função diferenciável tal que
e
. Também
Considerando
, calcule as derivadas parciais
e
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função diferenciável
com derivadas parciais conhecidas em um ponto específico
. Além disso, temos uma outra função vetorial
que mapeia os parâmetros
e
para novos valores de
e
. Queremos encontrar as derivadas parciais de
em
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a função
. Ela está definida como:
Isso significa que:
Essas são as expressões para
e
em termos de
e
.
Passo 3
Agora, definimos
. Para encontrar as derivadas parciais
e
, vamos aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que:
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e
são as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
e
:
Passo 5
Agora, precisamos avaliar todas essas derivadas no ponto
. Primeiro, vamos encontrar
:
Portanto,
. Sabemos que
e
.
Passo 6
Agora, vamos avaliar as derivadas de
e
em
:
Passo 7
Agora, aplicamos a regra da cadeia usando os valores obtidos:
Resposta
As derivadas parciais são
e
.