Seja z = f(x, y) uma função de classe C^2. Considere F(r, θ) = f(r cos(θ), r sen(θ)). Calcule F_theta_theta em função de fx, fy, fxx, fxy, fyx e fyy.
(Para simplificar notações, fx, fy, fxx, fxy, fyy estão avaliados em (r cos(θ), r sen(θ))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é bem comportada (classe ), ou seja, tem todas as derivadas necessárias. Aí, definimos uma nova função , que basicamente transforma as coordenadas cartesianas em coordenadas polares . Nosso objetivo aqui é calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, , e expressar isso em termos das derivadas parciais de ( ) avaliadas no ponto . Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função em termos de e :
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, aplicamos a regra da cadeia:
Calculando as derivadas de e em relação a :
Substituindo essas na expressão de :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa que vamos derivar novamente em relação a :
Aplicando a regra do produto e lembrando que e também dependem de através de e :
Mas precisamos expressar e em termos das derivadas parciais de . Usando novamente a regra da cadeia:
Substituindo de volta na expressão de :
Simplificando os termos:

Resposta

A segunda derivada parcial de em relação a é dada por:

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