Seja
uma função de classe
. Considere
. Calcule
em função de
e
.
(Para simplificar notações,
estão avaliados em
(Para simplificar notações,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é bem comportada (classe
), ou seja, tem todas as derivadas necessárias. Aí, definimos uma nova função
, que basicamente transforma as coordenadas cartesianas
em coordenadas polares
. Nosso objetivo aqui é calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
, e expressar isso em termos das derivadas parciais de
(
) avaliadas no ponto
. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
em termos de
e
:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, aplicamos a regra da cadeia:
Calculando as derivadas de
e
em relação a
:
Substituindo essas na expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que vamos derivar
novamente em relação a
:
Aplicando a regra do produto e lembrando que
e
também dependem de
através de
e
:
Mas precisamos expressar
e
em termos das derivadas parciais de
. Usando novamente a regra da cadeia:
Substituindo de volta na expressão de
:
Simplificando os termos:
Resposta
A segunda derivada parcial de
em relação a
é dada por: