Seja
uma função diferenciável tal que
e
. Considerando
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável
com as derivadas parciais
e
. A função
é definida como
. Nosso objetivo aqui é calcular a derivada de
em
, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia, que é fundamental no cálculo para derivar funções compostas. A Regra da Cadeia nos ajuda a encontrar a derivada de uma função que depende de outra função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções internas dentro da função
. Aqui, temos duas funções internas:
Então, podemos reescrever
como
.
Passo 3
Agora, para encontrar
, vamos aplicar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. A derivada de
em relação a
é dada por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, avaliadas nos pontos
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
Passo 6
Temos que calcular
. Primeiro, vamos encontrar
e
:
Então,
e
.
Passo 7
Substituindo todos os valores na expressão de
: