Seja f uma função diferenciável tal que f_x(1,3) = -1 e fy(1,3) = -3. Considerando F(t) = f(t^2, 4t - 1), calcule F'(1).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável com as derivadas parciais e . A função é definida como . Nosso objetivo aqui é calcular a derivada de em , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia, que é fundamental no cálculo para derivar funções compostas. A Regra da Cadeia nos ajuda a encontrar a derivada de uma função que depende de outra função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções internas dentro da função . Aqui, temos duas funções internas:
Então, podemos reescrever como .

Passo 3

Agora, para encontrar , vamos aplicar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. A derivada de em relação a é dada por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, avaliadas nos pontos e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:

Passo 6

Temos que calcular . Primeiro, vamos encontrar e :
Então, e .

Passo 7

Substituindo todos os valores na expressão de :

Resposta

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