Encontre a derivada direcional no ponto P0 na direção do vetor u, onde f(x, y) = e^x arctan(y),
P0=(0,2), u=(-2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como gradiente e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção específica pode ser encontrada utilizando o gradiente da função e o vetor direcional normalizado. A fórmula é:
Onde:
  • é o vetor gradiente da função
  • é o vetor normalizado (ou seja, com comprimento 1)

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é dado pelas derivadas parciais em relação a e :

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 5

Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 6

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Então,

Passo 7

Vamos agora normalizar o vetor . A normalização é feita dividindo cada componente pelo comprimento do vetor:
Então,

Passo 8

Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar do gradiente e do vetor normalizado:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é:

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