Encontre a derivada direcional no ponto na direção do vetor , onde , .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como gradiente e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção específica pode ser encontrada utilizando o gradiente da função e o vetor direcional normalizado. A fórmula é:
Onde:
é o vetor gradiente da função
é o vetor normalizado (ou seja, com comprimento 1)
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é dado pelas derivadas parciais em relação a e :
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a :
Passo 5
Calculando a derivada parcial em relação a :
Passo 6
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Então,
Passo 7
Vamos agora normalizar o vetor . A normalização é feita dividindo cada componente pelo comprimento do vetor:
Então,
Passo 8
Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar do gradiente e do vetor normalizado:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é: