Calcular f_xx e fyy para a função f(x, y) = x senh(y) + y cosh(x), onde senh e cosh
mente o seno e o cosseno hiperbólicos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de derivadas parciais! A gente precisa encontrar as derivadas segundas de em relação a e a . Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções hiperbólicas, como o seno hiperbólico ( ) e o cosseno hiperbólico ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções hiperbólicas que temos aqui:
  • Derivada do seno hiperbólico:
  • Derivada do cosseno hiperbólico:
Essas regras vão nos ajudar a calcular as derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de em relação a , que é :
Para o primeiro termo, porque é tratado como constante.
Para o segundo termo, .
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada em relação a , que é :
O primeiro termo, , já que é constante.
Para o segundo termo, .
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a primeira derivada de em relação a , que é :
Para o primeiro termo, .
Para o segundo termo, .
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada em relação a , que é :
Para o primeiro termo, .
Para o segundo termo, , já que é constante.
Então:

Resposta

As derivadas segundas da função são:
e

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