mostrar que as seguintes funçōes são harmônicas:
b) f(x, y) = arctg(2xy / (x^2 - y^2))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função é harmônica. Isso significa que ela satisfaz a equação de Laplace, que envolve as segundas derivadas parciais da função. Para resolver isso, vamos calcular essas derivadas e ver se a soma delas dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Laplace para duas variáveis. Uma função é harmônica se:
Então, nosso objetivo é calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e e ver se a soma delas é zero.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia. Se , então:
Onde .

Passo 4

Calculando :
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituindo de volta na derivada de :
Simplificando o denominador:
Portanto:

Passo 6

De forma similar, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a :
Calculando :
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais. Primeiro, :
E depois, :

Passo 8

Finalmente, somamos as segundas derivadas:

Resposta

A soma das segundas derivadas parciais é zero, então a função é harmônica.

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