mostrar que as seguintes funçōes são harmônicas:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função
é harmônica. Isso significa que ela satisfaz a equação de Laplace, que envolve as segundas derivadas parciais da função. Para resolver isso, vamos calcular essas derivadas e ver se a soma delas dá zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Laplace para duas variáveis. Uma função
é harmônica se:
Então, nosso objetivo é calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
e ver se a soma delas é zero.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
. Para isso, usamos a regra da cadeia. Se
, então:
Onde
.
Passo 4
Calculando
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituindo de volta na derivada de
:
Simplificando o denominador:
Portanto:
Passo 6
De forma similar, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Calculando
:
Então:
Passo 7
Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais. Primeiro,
:
E depois,
:
Passo 8
Finalmente, somamos as segundas derivadas:
Resposta
A soma das segundas derivadas parciais é zero, então a função
é harmônica.
Exercícios relacionados
Calcular
e
para a função
, onde senh e cosh
mente o seno e o cosseno hiperbólicos.
mente o seno e o cosseno hiperbólicos.
Encontre uma representação em séries de potência e forneça o intervalo e o raio de convergência das seguintes funções:
(a) e
.)
(a)
Dada a funçāo
, calcular a derivada
.
Encontre a série de Taylor de
centrada em
dada nos itens:
© .)
©