Encontre uma representação em séries de potência e forneça o intervalo e o raio de convergência das seguintes funções:
(a) e .)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma representação de em forma de série de potência. Além disso, precisamos determinar o intervalo e o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é bem útil para representar funções racionais como essa. Vamos precisar lembrar como funciona a série geométrica e quais são as condições para que ela converge.

Passo 2

Primeiro, lembrando a fórmula da série geométrica:
Aqui, é o primeiro termo da série e é a razão. Nosso objetivo é manipular a função para que ela se pareça com a soma da série geométrica acima.

Passo 3

Observamos que:
Isso nos ajuda a comparar com a fórmula da série geométrica:
Então, podemos escrever a série de potência para substituindo por :

Passo 4

Agora, precisamos verificar as condições de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica converge quando:
No nosso caso, , então:
Isso significa que a série converge para valores de cujo módulo é menor que 1.

Passo 5

Com isso, já temos a representação em série de potência de :
E a condição de convergência é , o que nos dá um intervalo de convergência de .

Resposta

A representação em série de potência de é:
O raio de convergência dessa série é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Use testes para verificação de convergência e divergência.
(g) . (diverge-teste da divergência.)
Determine se a série converge ou diverge:
© . (converge para .)
Calcular e para a função , onde senh e cosh
mente o seno e o cosseno hiperbólicos.
mostrar que as seguintes funçōes são harmônicas:
b)