Encontre uma representação em séries de potência e forneça o intervalo e o raio de convergência das seguintes funções:
(a) f(x)=11+x cdot(sumn=0^infty(-x)^n, R=1 e I=(-1,1).)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma representação de em forma de série de potência. Além disso, precisamos determinar o intervalo e o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é bem útil para representar funções racionais como essa. Vamos precisar lembrar como funciona a série geométrica e quais são as condições para que ela converge.

Passo 2

Primeiro, lembrando a fórmula da série geométrica:
sumn=0^infty ar^n = a1 - r, para |r| < 1
Aqui, é o primeiro termo da série e é a razão. Nosso objetivo é manipular a função para que ela se pareça com a soma da série geométrica acima.

Passo 3

Observamos que:
11+x = 11 - (-x)
Isso nos ajuda a comparar com a fórmula da série geométrica:
11 - r onde r = -x
Então, podemos escrever a série de potência para sumn=0^infty (-x)^n substituindo por :

Passo 4

Agora, precisamos verificar as condições de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica converge quando:
|r| < 1
No nosso caso, |-x| < 1 implies |x| < 1 , então:
Isso significa que a série converge para valores de cujo módulo é menor que 1.

Passo 5

Com isso, já temos a representação em série de potência de 11+x = sumn=0^infty (-x)^n :
E a condição de convergência é , o que nos dá um intervalo de convergência de .

Resposta

A representação em série de potência de f(x) = sumn=0^infty (-x)^n é:
O raio de convergência dessa série é e o intervalo de convergência é .

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