Encontre uma representação em séries de potência e forneça o intervalo e o raio de convergência das seguintes funções:
(a)
e
.)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma representação de
em forma de série de potência. Além disso, precisamos determinar o intervalo e o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é bem útil para representar funções racionais como essa. Vamos precisar lembrar como funciona a série geométrica e quais são as condições para que ela converge.
Passo 2
Primeiro, lembrando a fórmula da série geométrica:
Aqui,
é o primeiro termo da série e
é a razão. Nosso objetivo é manipular a função
para que ela se pareça com a soma da série geométrica acima.
Passo 3
Observamos que:
Isso nos ajuda a comparar com a fórmula da série geométrica:
Então, podemos escrever a série de potência para
substituindo
por
:
Passo 4
Agora, precisamos verificar as condições de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica converge quando:
No nosso caso,
, então:
Isso significa que a série converge para valores de
cujo módulo é menor que 1.
Passo 5
Com isso, já temos a representação em série de potência de
:
E a condição de convergência é
, o que nos dá um intervalo de convergência de
.
Resposta
A representação em série de potência de
é:
O raio de convergência dessa série é
e o intervalo de convergência é
.
Exercícios relacionados
Use testes para verificação de convergência e divergência.
(g) . (diverge-teste da divergência.)
(g)
Determine se a série converge ou diverge:
© . (converge para
.)
©
Calcular
e
para a função
, onde senh e cosh
mente o seno e o cosseno hiperbólicos.
mente o seno e o cosseno hiperbólicos.
mostrar que as seguintes funçōes são harmônicas:
b)
b)