Calcular
, sendo
e
a supcrfície exterior da esfera
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para calcular o fluxo da função vetorial
através da superfície exterior de uma esfera de raio 2. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergência da função no volume limitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
,
e
. Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Então, a divergência é:
Passo 4
Agora, segundo o Teorema da Divergência, o fluxo
através da superfície
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
da esfera:
Como
, a integral fica:
Ou seja, o fluxo é simplesmente o volume da esfera.
Passo 5
Vamos calcular o volume de uma esfera com raio
. A fórmula do volume é:
Substituindo
:
Resposta
O fluxo
é igual a
.