Calcular I=integral duplaS^prime f n d S, sendo f=x i+2 j+3 k e S a supcrfície exterior da esfera r(u, v)=(2 cos u cos v, 2 sen u cos v, 2 sen v), 0 <= u <= 2 pi e -pi2 <= v <= pi2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para calcular o fluxo da função vetorial através da superfície exterior de uma esfera de raio 2. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergência da função no volume limitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial div f = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z é dada por:
No nosso caso, , e . Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando as derivadas:
partial Ppartial x = partial xpartial x = 1
partial Qpartial y = partial 2partial y = 0
partial Rpartial z = partial 3partial z = 0
Então, a divergência é:
div f = 1 + 0 + 0 = 1

Passo 4

Agora, segundo o Teorema da Divergência, o fluxo I = integral triplaV div f , dV através da superfície I = integral triplaV 1 , dV é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume da esfera:
Como , a integral fica:
Ou seja, o fluxo é simplesmente o volume da esfera.

Passo 5

Vamos calcular o volume de uma esfera com raio V = 43 pi r^3 . A fórmula do volume é:
V = 43 pi (2)^3 = 43 pi times 8 = 323 pi
Substituindo :

Resposta

O fluxo é igual a .

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