Calcular , sendo e a supcrfície exterior da esfera e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para calcular o fluxo da função vetorial através da superfície exterior de uma esfera de raio 2. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergência da função no volume limitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , e . Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Então, a divergência é:
Passo 4
Agora, segundo o Teorema da Divergência, o fluxo através da superfície é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume da esfera:
Como , a integral fica:
Ou seja, o fluxo é simplesmente o volume da esfera.
Passo 5
Vamos calcular o volume de uma esfera com raio . A fórmula do volume é: