Calcular , sendo e a supcrfície exterior da esfera e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para calcular o fluxo da função vetorial através da superfície exterior de uma esfera de raio 2. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergência da função no volume limitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , e . Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando as derivadas:
Então, a divergência é:

Passo 4

Agora, segundo o Teorema da Divergência, o fluxo através da superfície é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume da esfera:
Como , a integral fica:
Ou seja, o fluxo é simplesmente o volume da esfera.

Passo 5

Vamos calcular o volume de uma esfera com raio . A fórmula do volume é:
Substituindo :

Resposta

O fluxo é igual a .

Exercícios relacionados

Se é dada por: se e , prove que:
(b) As derivadas parciais e existem em todo , mas não são contínuas em .
Indique para quais valores de e de a função é contínua em 1.
Falso ou verdadeiro? Justifique.
(a) Se é diferenciável em , então as derivadas parciais e existem em .
, sendo e a elipse , .