, sendo e a elipse , .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha . Aqui, temos o campo vetorial e a curva que é uma elipse dada por , , , onde varia de a . Vamos usar o conceito de integral de linha da matéria de cálculo vetorial para resolver isso. Precisaremos parametrizar a curva, expressar ao longo dela e calcular o produto escalar com o diferencial de posição .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva usando o parâmetro . A parametrização é:
Isso significa que, conforme varia, traça a elipse no espaço tridimensional.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial de posição . Para isso, derivamos em relação a :
Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos avaliar o campo vetorial ao longo da curva substituindo as coordenadas da parametrização:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos montar a integral de linha substituindo tudo que já encontramos:

Passo 7

Para resolver essa integral, vamos separar os termos e analisar cada um:
Observando que as funções e possuem simetrias que podem fazer alguns termos cancelarem ou se tornarem zero quando integrados de a . No entanto, as integrais envolvendo e não têm primitivas elementares e geralmente são avaliadas numericamente ou utilizando séries.

Resposta

A integral de linha é dada por:
Para obter um valor numérico, essa integral pode ser avaliada utilizando métodos numéricos apropriados.

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Falso ou verdadeiro? Justifique.
(a) Se é diferenciável em , então as derivadas parciais e existem em .
Calcular , sendo e a supcrfície exterior da esfera e .
Falso ou verdadeiro? Justifique.
(d) Se tem derivadas parciais e no ponto , então é contínua em .
Falso ou verdadeiro? Justifique.
(g) Se as derivadas parciais e existem em , então é diferenciável em .