, sendo
e
a elipse
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha
. Aqui, temos o campo vetorial
e a curva
que é uma elipse dada por
,
,
, onde
varia de
a
. Vamos usar o conceito de integral de linha da matéria de cálculo vetorial para resolver isso. Precisaremos parametrizar a curva, expressar
ao longo dela e calcular o produto escalar com o diferencial de posição
.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
usando o parâmetro
. A parametrização é:
Isso significa que, conforme
varia,
traça a elipse no espaço tridimensional.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial de posição
. Para isso, derivamos
em relação a
:
Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar o campo vetorial
ao longo da curva
substituindo as coordenadas da parametrização:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos montar a integral de linha substituindo tudo que já encontramos:
Passo 7
Para resolver essa integral, vamos separar os termos e analisar cada um:
Observando que as funções
e
possuem simetrias que podem fazer alguns termos cancelarem ou se tornarem zero quando integrados de
a
. No entanto, as integrais envolvendo
e
não têm primitivas elementares e geralmente são avaliadas numericamente ou utilizando séries.
Resposta
A integral de linha é dada por:
Para obter um valor numérico, essa integral pode ser avaliada utilizando métodos numéricos apropriados.
Exercícios relacionados
Falso ou verdadeiro? Justifique.
(a) Se é diferenciável em
, então as derivadas parciais
e
existem em
.
(a) Se
Calcular
, sendo
e
a supcrfície exterior da esfera
e
.
Falso ou verdadeiro? Justifique.
(d) Se tem derivadas parciais
e
no ponto
, então
é contínua em
.
(d) Se
Falso ou verdadeiro? Justifique.
(g) Se as derivadas parciais e
existem em
, então
é diferenciável em
.
(g) Se as derivadas parciais