Falso ou verdadeiro? Justifique.
(a) Se é diferenciável em , então as derivadas parciais e existem em .

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: “Se é diferenciável em , então as derivadas parciais e existem em .” Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e o que são derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre diferenciabilidade. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto. Em termos mais simples, se você olhar para a função perto de , ela se comporta de maneira muito similar a um plano inclinado.

Passo 3

Agora, sobre as derivadas parciais e . Essas derivadas representam as inclinações da função nas direções dos eixos e , respectivamente. Ou seja, mostra como a função muda se você movimenta apenas no eixo , mantendo constante, e faz o mesmo para o eixo .

Passo 4

Aí vem a parte importante: se uma função é diferenciável em um ponto, então ela necessariamente possui derivadas parciais nesse ponto. Isso acontece porque a existência do plano tangente implica que a função tem inclinações bem definidas nas direções dos eixos, que são exatamente as derivadas parciais.

Resposta

Verdadeiro. Se é diferenciável em , as derivadas parciais e existem em .

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Calcular , sendo e a supcrfície exterior da esfera e .
Se é dada por: se e , prove que:
(b) As derivadas parciais e existem em todo , mas não são contínuas em .
, sendo e a elipse , .
Falso ou verdadeiro? Justifique.
(d) Se tem derivadas parciais e no ponto , então é contínua em .