Falso ou verdadeiro? Justifique.
(a) Se
é diferenciável em
, então as derivadas parciais
e
existem em
.
(a) Se
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: “Se
é diferenciável em
, então as derivadas parciais
e
existem em
.” Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e o que são derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre diferenciabilidade. Uma função
de duas variáveis é diferenciável em um ponto
se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto. Em termos mais simples, se você olhar para a função perto de
, ela se comporta de maneira muito similar a um plano inclinado.
Passo 3
Agora, sobre as derivadas parciais
e
. Essas derivadas representam as inclinações da função nas direções dos eixos
e
, respectivamente. Ou seja,
mostra como a função muda se você movimenta apenas no eixo
, mantendo
constante, e
faz o mesmo para o eixo
.
Passo 4
Aí vem a parte importante: se uma função é diferenciável em um ponto, então ela necessariamente possui derivadas parciais nesse ponto. Isso acontece porque a existência do plano tangente implica que a função tem inclinações bem definidas nas direções dos eixos, que são exatamente as derivadas parciais.
Resposta
Verdadeiro. Se
é diferenciável em
, as derivadas parciais
e
existem em
.