Se é dada por: se e , prove que:
(b) As derivadas parciais e existem em todo , mas não são contínuas em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que as derivadas parciais e da função (quando e ) existem em todo o plano , mas que elas não são contínuas no ponto . Pra isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e verificar a continuidade delas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial . Lembra que a derivada parcial em relação a é como se a gente derivasse a função tratando como constante.
Então, usando a regra do quociente:
Então, a derivada parcial existe para todo .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial . Fazendo a mesma coisa, tratamos como constante:
Então, a derivada parcial também existe para todo .

Passo 4

Agora, precisamos verificar as derivadas parciais no ponto . Usamos a definição de derivada parcial:
Então, as derivadas parciais e também existem em .

Passo 5

Agora, vamos ver se essas derivadas são contínuas em . Para isso, vamos analisar os limites de e quando se aproxima de .
Para :
Se a gente aproxima por :
Esse limite depende de , então não existe um único valor. Portanto, não é contínua em .
Para :
Novamente, usando :
Esse limite também depende de , então não existe um único valor. Portanto, não é contínua em .

Resposta

As derivadas parciais e existem em todo , mas não são contínuas no ponto .

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(a) Se é diferenciável em , então as derivadas parciais e existem em .