Se
é dada por:
se
e
, prove que:
(b) As derivadas parciais
e
existem em todo
, mas não são contínuas em
.
(b) As derivadas parciais
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que as derivadas parciais
e
da função
(quando
e
) existem em todo o plano
, mas que elas não são contínuas no ponto
. Pra isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e verificar a continuidade delas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial
. Lembra que a derivada parcial em relação a
é como se a gente derivasse a função tratando
como constante.
Então, usando a regra do quociente:
Então, a derivada parcial
existe para todo
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial
. Fazendo a mesma coisa, tratamos
como constante:
Então, a derivada parcial
também existe para todo
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar as derivadas parciais no ponto
. Usamos a definição de derivada parcial:
Então, as derivadas parciais
e
também existem em
.
Passo 5
Agora, vamos ver se essas derivadas são contínuas em
. Para isso, vamos analisar os limites de
e
quando
se aproxima de
.
Para
:
Se a gente aproxima por
:
Esse limite depende de
, então não existe um único valor. Portanto,
não é contínua em
.
Para
:
Novamente, usando
:
Esse limite também depende de
, então não existe um único valor. Portanto,
não é contínua em
.
Resposta
As derivadas parciais
e
existem em todo
, mas não são contínuas no ponto
.