Calcular no instante t=3 s a posição e a aceleração de uma partícula que se move com velocidade dada por: v(t)=-1t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra calcular, no instante de 3 segundos, a posição e a aceleração de uma partícula que está se movendo com uma velocidade dada por . Aqui, estamos lidando com cinemática, que é a parte da física que estuda os movimentos. Para resolver isso, a gente vai precisar usar um pouco de cálculo: integração para achar a posição a partir da velocidade, e derivação para encontrar a aceleração a partir da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição da partícula no tempo s(t) = integral v(t) , dt = integral -1t^2 , dt segundos. Sabemos que a posição pode ser encontrada integrando a velocidade . Então, vamos integrar :

Passo 3

Vamos resolver a integral:
s(t) = -integral t^-2 , dt = -( t^-1-1 ) + C = 1t + C
Aqui, é a constante de integração. Sem informação adicional, a gente não sabe o valor de , então vamos considerar que para simplificar, assumindo que a posição inicial pode ser zero.

Passo 4

Agora, substituímos s(3) = 13 approx 0,333 metros na expressão da posição:

Passo 5

Agora vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração a(t) = dvdt = ddt ( -t^-2 ) = 2t^-3 = 2t^3 é a derivada da velocidade . Então, vamos derivar :

Passo 6

Substituímos a(3) = 23^3 = 227 approx 0,074 m/s^2 na expressão da aceleração:

Resposta

No instante de 3 segundos, a posição da partícula é aproximadamente metros e a aceleração é aproximadamente .

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