Calcular, por integração, a área da região limitada
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular, usando integração, a área da região que está limitada pelas curvas
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e compreensão de como encontrar a área entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos onde as curvas se cruzam e configurar a integral adequada para calcular a área desejada.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo a segunda equação na primeira:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Portanto,
ou
.
Agora, encontramos os valores correspondentes de
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são (0, 0) e (4, -2).
Passo 3
Agora, precisamos determinar qual das curvas está à direita da outra na região de interesse, entre
e
. Vamos reescrever a equação
para
em função de
:
Comparando com
:
Para
:
Aqui,
é maior que
, então a linha reta está à direita da parábola nessa região.
Passo 4
Para calcular a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula:
No nosso caso,
e
, com
variando de -2 a 0.
Passo 5
Configuramos a integral com os limites de integração de
a
:
Vamos resolver essa integral para encontrar a área.
Passo 6
Vamos calcular a integral passo a passo:
Primeiro, separamos a integral:
Calculando cada parte:
Para
, a antiderivada é
.
Para
, a antiderivada é
.
Então, substituímos os limites:
Calculando cada termo:
Para
:
Para
:
Portanto:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.
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e
Reescreva as expressões abaixo completando o quadrado:
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