Calcular, por integração, a área da região limitada x = y^2 e y = -x/2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular, usando integração, a área da região que está limitada pelas curvas e . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e compreensão de como encontrar a área entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos onde as curvas se cruzam e configurar a integral adequada para calcular a área desejada.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo a segunda equação na primeira:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Portanto, ou .
Agora, encontramos os valores correspondentes de :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são (0, 0) e (4, -2).

Passo 3

Agora, precisamos determinar qual das curvas está à direita da outra na região de interesse, entre e . Vamos reescrever a equação para em função de :
Comparando com :
Para :
Aqui, é maior que , então a linha reta está à direita da parábola nessa região.

Passo 4

Para calcular a área entre as curvas, usamos a seguinte fórmula:
Á
No nosso caso, e , com variando de -2 a 0.

Passo 5

Configuramos a integral com os limites de integração de a :
Á
Vamos resolver essa integral para encontrar a área.

Passo 6

Vamos calcular a integral passo a passo:
Á
Primeiro, separamos a integral:
Á
Calculando cada parte:
Para , a antiderivada é .
Para , a antiderivada é .
Então, substituímos os limites:
Á
Calculando cada termo:
Para :
Para :
Portanto:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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