Calcular, por integração, a área da região limitada y = 3 - x e y = 3 - x^2

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular a área da região que está entre as curvas e . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, que é uma ferramenta poderosa para encontrar áreas entre curvas. Primeiro, vamos precisar descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, quais são os pontos de intersecção delas.

Passo 2

Para encontrar os pontos de intersecção das curvas, a gente iguala as duas equações:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de que satisfazem isso.

Passo 3

Subtraindo 3 de ambos os lados da equação:
Multiplicando os dois lados por para simplificar:
Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Fatorando :
Isso nos dá duas soluções:
Então, as curvas se cruzam nos pontos onde e . Esses serão os limites de integração para calcular a área.

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos identificar qual das duas está por cima da outra no intervalo de a . Vamos comparar os valores de para um valor de dentro desse intervalo, por exemplo, :
Vemos que quando , está acima de . Portanto, é a função de cima, e é a de baixo nesse intervalo.

Passo 5

Para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a fórmula da integral definida da diferença das funções de cima e de baixo, entre os limites de integração e :
Á
Vamos simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Á

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto, a integral fica:
Á

Passo 8

Agora, vamos calcular o valor da expressão acima nos limites de integração e :
Para :
Para :
Subtraindo os dois resultados:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades quadradas.

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