Calcular, por integração, a área da região limitada
e
Passo 1
Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular a área da região que está entre as curvas
e
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, que é uma ferramenta poderosa para encontrar áreas entre curvas. Primeiro, vamos precisar descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, quais são os pontos de intersecção delas.
Passo 2
Para encontrar os pontos de intersecção das curvas, a gente iguala as duas equações:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
que satisfazem isso.
Passo 3
Subtraindo 3 de ambos os lados da equação:
Multiplicando os dois lados por
para simplificar:
Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Fatorando
:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as curvas se cruzam nos pontos onde
e
. Esses serão os limites de integração para calcular a área.
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos identificar qual das duas está por cima da outra no intervalo de
a
. Vamos comparar os valores de
para um valor de
dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Vemos que quando
,
está acima de
. Portanto,
é a função de cima, e
é a de baixo nesse intervalo.
Passo 5
Para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a fórmula da integral definida da diferença das funções de cima e de baixo, entre os limites de integração
e
:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral.
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular o valor da expressão acima nos limites de integração
e
:
Para
:
Para
:
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades quadradas.
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Reescreva as expressões abaixo completando o quadrado:
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Calcular, por integração, a área da região limitada
e
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