Calcular, por integração, a área da região limitada
e
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que foi pedido! A gente precisa calcular a área da região que está limitada pelas curvas
, pela linha
e pela reta vertical
. Vamos usar a técnica de integração para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais definidas e como elas nos ajudam a encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas para entender melhor o que está acontecendo. A curva
é uma parábola que abre para baixo, e a linha
é uma linha horizontal. A reta
é uma linha vertical que corta essas duas curvas. Precisamos encontrar os pontos onde essas curvas se encontram para determinar os limites da nossa área.
Passo 3
Vamos encontrar onde a parábola
e a linha
se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos de intersecção são
e
.
Passo 4
Como temos a reta vertical
, vamos verificar onde ela corta a parábola e a linha
.
Para a parábola
em
:
Para a linha
, quando
, obviamente
.
Então, temos dois pontos adicionais: (1, 3) e (1, 1).
Passo 5
Agora, vamos determinar os intervalos de integração. Observamos que a área está limitada entre
e outro ponto de interseção entre as curvas. Observando os valores de
encontrados anteriormente,
é menor que 1, então o intervalo relevante para a nossa área vai de
até onde a parábola cruza
à direita de
.
Então, o limite superior será
.
Passo 6
Para calcular a área entre duas curvas, usamos a integral da diferença das funções no intervalo determinado. Aqui, a curva superior é a parábola
e a curva inferior é a linha
.
A fórmula para a área
é:
Onde
e
, com
e
.
Passo 7
Vamos configurar a integral:
Agora, vamos integrar termo a termo.
Passo 8
Integrando:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a
:
Passo 9
Vamos calcular cada parte:
Primeiro, para
:
Então:
Agora, para
:
Passo 10
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades quadradas.
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Reescreva as expressões abaixo completando o quadrado:
Calcular, por integração, a área da região limitada
e
Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
Estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada: