Calcular, por integração, a área da região limitada y = 4 x - x^2, y = 1 e x = 1

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que foi pedido! A gente precisa calcular a área da região que está limitada pelas curvas , pela linha e pela reta vertical . Vamos usar a técnica de integração para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais definidas e como elas nos ajudam a encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas para entender melhor o que está acontecendo. A curva é uma parábola que abre para baixo, e a linha é uma linha horizontal. A reta é uma linha vertical que corta essas duas curvas. Precisamos encontrar os pontos onde essas curvas se encontram para determinar os limites da nossa área.

Passo 3

Vamos encontrar onde a parábola e a linha se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos de intersecção são e .

Passo 4

Como temos a reta vertical , vamos verificar onde ela corta a parábola e a linha .
Para a parábola em :
Para a linha , quando , obviamente .
Então, temos dois pontos adicionais: (1, 3) e (1, 1).

Passo 5

Agora, vamos determinar os intervalos de integração. Observamos que a área está limitada entre e outro ponto de interseção entre as curvas. Observando os valores de encontrados anteriormente, é menor que 1, então o intervalo relevante para a nossa área vai de até onde a parábola cruza à direita de .
Então, o limite superior será .

Passo 6

Para calcular a área entre duas curvas, usamos a integral da diferença das funções no intervalo determinado. Aqui, a curva superior é a parábola e a curva inferior é a linha .
A fórmula para a área é:
Onde e , com e .

Passo 7

Vamos configurar a integral:
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 8

Integrando:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a :

Passo 9

Vamos calcular cada parte:
Primeiro, para :
Então:
Agora, para :

Passo 10

Subtraindo os dois resultados:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Reescreva as expressões abaixo completando o quadrado:
9/4 x^2 - x + 1
Calcular, por integração, a área da região limitada x = y^2 e y = -x/2
Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
y = x^(3/2), (1,1) a (4,8)
Estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada:
y = 2^x, 0 <= x <= 3