Calcular, por integração, a área da região limitada
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular, usando integração, a área da região limitada pelas curvas
e
. Isso pertence à matéria de Cálculo, mais especificamente ao estudo de integrais para encontrar áreas entre curvas. Vamos precisar descobrir onde essas duas curvas se encontram e depois integrar a diferença delas para encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as equações:
Resolvendo essa equação para
:
Então, as curvas se encontram em
e
.
Passo 3
Agora que sabemos os pontos de interseção, vamos visualizar a área que queremos calcular. A curva
é uma parábola voltada para baixo, e
é uma reta horizontal. A área entre elas vai de
até
.
Passo 4
Para calcular a área entre essas duas curvas, usamos a fórmula da integração para áreas entre curvas:
Aqui,
é a função de cima e
é a fun��ão de baixo. No nosso caso,
e
. Assim, a diferença
será:
Passo 5
Agora, substituímos na integral com os limites de integração que encontramos (
e
):
Passo 6
Observando a função
, vemos que ela é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo y. Por isso, podemos simplificar o cálculo multiplicando a integral de 0 a 2 por 2:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Avaliado de 0 a 2:
Passo 8
Multiplicando pelo 2 que encontramos anteriormente:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
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e
Dê exemplos de funções
e
tais que
-
e -
e -
e -
e
Reescreva as expressões abaixo completando o quadrado:
Reescreva as expressões abaixo completando o quadrado: