Calcular, por integração, a área da região limitada y = -x^2 e y = -4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular, usando integração, a área da região limitada pelas curvas e . Isso pertence à matéria de Cálculo, mais especificamente ao estudo de integrais para encontrar áreas entre curvas. Vamos precisar descobrir onde essas duas curvas se encontram e depois integrar a diferença delas para encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as equações:
Resolvendo essa equação para :
Então, as curvas se encontram em e .

Passo 3

Agora que sabemos os pontos de interseção, vamos visualizar a área que queremos calcular. A curva é uma parábola voltada para baixo, e é uma reta horizontal. A área entre elas vai de até .

Passo 4

Para calcular a área entre essas duas curvas, usamos a fórmula da integração para áreas entre curvas:
Á
Aqui, é a função de cima e é a fun��ão de baixo. No nosso caso, e . Assim, a diferença será:

Passo 5

Agora, substituímos na integral com os limites de integração que encontramos ( e ):
Á

Passo 6

Observando a função , vemos que ela é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo y. Por isso, podemos simplificar o cálculo multiplicando a integral de 0 a 2 por 2:
Á

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Avaliado de 0 a 2:

Passo 8

Multiplicando pelo 2 que encontramos anteriormente:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades de área.

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Dê exemplos de funções f e g tais que
  1. lim x 0^+ f(x)=0, lim x 0^+ g(x)=0 e lim x 0^+ f(x)g(x)=+infty
  2. lim x +infty f(x)=0, lim x +infty g(x)=0 e lim x +infty f(x)g(x)=0
  3. lim x 0^+ f(x)g(x)=+infty e lim x +infty f(x)g(x)=1
  4. lim x 0^+ f(x)g(x)=+infty e lim x +infty f(x)g(x)=0
Reescreva as expressões abaixo completando o quadrado:
5 x^2 + 10 x + 2
Reescreva as expressões abaixo completando o quadrado:
x^2 - 4x + 4