Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
y = x^(3/2), (1,1) a (4,8)

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem que encontrar o comprimento do arco da curva entre os pontos e . Isso faz parte do cálculo, especificamente usando a fórmula de comprimento de arco. Vamos precisar da derivada da função e aplicar a fórmula de comprimento de arco para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma curva no intervalo de a . A fórmula é:
Isso significa que a gente precisa primeiro encontrar a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Usando a regra do poder, que diz que , temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Quando , .
Quando , .

Passo 6

Substituindo tudo na integral, temos:
Agora, vamos integrar :

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Vamos calcular cada termo separadamente:

Passo 8

Substituindo de volta:

Resposta

O comprimento de arco da curva de a é aproximadamente unidades.

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Calcular, por integração, a área da região limitada y = 4 x - x^2, y = 1 e x = 1
Reescreva as expressões abaixo completando o quadrado:
9/4 x^2 - x + 1
Estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada:
y = 2^x, 0 <= x <= 3
Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
y = 2 - 3 x, -2 <= x <= 1