Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
Passo 1
Beleza! Então, a gente tem que encontrar o comprimento do arco da curva
entre os pontos
e
. Isso faz parte do cálculo, especificamente usando a fórmula de comprimento de arco. Vamos precisar da derivada da função e aplicar a fórmula de comprimento de arco para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma curva
no intervalo de
a
. A fórmula é:
Isso significa que a gente precisa primeiro encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Usando a regra do poder, que diz que
, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Quando
,
.
Quando
,
.
Passo 6
Substituindo tudo na integral, temos:
Agora, vamos integrar
:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Vamos calcular cada termo separadamente:
Passo 8
Substituindo de volta:
Resposta
O comprimento de arco da curva
de
a
é aproximadamente
unidades.
Exercícios relacionados
Calcular, por integração, a área da região limitada
e
Reescreva as expressões abaixo completando o quadrado:
Estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada:
Encontrar o comprimento de arco da curva dada: