Estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada:
y = 2^x, 0 <= x <= 3

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a integral que dá o comprimento de arco da curva no intervalo de de 0 a 3. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula do comprimento de arco para funções contínuas e deriváveis. Isso envolve calcular uma integral que leva em conta a derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de arco de uma função entre e :
Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas partes do comprimento da curva entre os pontos e .

Passo 3

No nosso caso, a função é , então precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, .
Sabemos que a derivada de em relação a é:
Aqui, usamos a regra de derivação para funções exponenciais com base diferente de .

Passo 4

Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Isso simplifica para:

Resposta

A integral que dá o comprimento de arco da curva de a é:

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