Estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a integral que dá o comprimento de arco da curva
no intervalo de
de 0 a 3. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula do comprimento de arco para funções contínuas e deriváveis. Isso envolve calcular uma integral que leva em conta a derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de arco de uma função
entre
e
:
Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas partes do comprimento da curva entre os pontos
e
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
, então precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Sabemos que a derivada de
em relação a
é:
Aqui, usamos a regra de derivação para funções exponenciais com base diferente de
.
Passo 4
Agora, vamos substituir
na fórmula do comprimento de arco:
Isso simplifica para:
Resposta
A integral que dá o comprimento de arco da curva
de
a
é:
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e
Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
Estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada: