Calcular as integrais abaixo:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular a integral definida de
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções polinomiais e o uso das propriedades de simetria das funções ímpares e pares. Vamos precisar lembrar como integrar termos de potências de
e entender como certas funções se comportam quando integradas em intervalos simétricos em torno de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em partes mais simples. A integral que temos pode ser decomposta em três integrais:
Cada uma dessas integrais será resolvida individualmente.
Passo 3
Vamos analisar cada uma dessas integrais:
-
Integral de
: A potência deé ímpar, ou seja, a função é uma função ímpar. Funções ímpares têm a propriedade de que . Quando você integra uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero. Então: -
Integral de
: Similarmente, a funçãotambém é ímpar. Aplicando a mesma propriedade: -
Integral de
: Aqui, temos uma função constante, que é uma função par (porque ). A integral de uma constante é mais direta. Calculamos multiplicando a constante pelo comprimento do intervalo:
Resposta
Portanto, a integral definida é igual a
.
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