Calcular as integrais abaixo: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular a integral definida de . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções polinomiais e o uso das propriedades de simetria das funções ímpares e pares. Vamos precisar lembrar como integrar termos de potências de e entender como certas funções se comportam quando integradas em intervalos simétricos em torno de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em partes mais simples. A integral que temos pode ser decomposta em três integrais:
Cada uma dessas integrais será resolvida individualmente.

Passo 3

Vamos analisar cada uma dessas integrais:
  1. Integral de :
    A potência de é ímpar, ou seja, a função é uma função ímpar. Funções ímpares têm a propriedade de que . Quando você integra uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero. Então:
  2. Integral de :
    Similarmente, a função também é ímpar. Aplicando a mesma propriedade:
  3. Integral de :
    Aqui, temos uma função constante , que é uma função par (porque ). A integral de uma constante é mais direta. Calculamos multiplicando a constante pelo comprimento do intervalo:

Resposta

Portanto, a integral definida é igual a .

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