Resolva as EDO
Passo 1
Vamos resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
com a condição inicial
.
Para resolver essa EDO, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, como manipulação de equações diferenciais e métodos de integração. Precisaremos reorganizar a equação para torná-la mais simples e identificar se é possível separá-la ou aplicar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar os termos que contêm
e
. Podemos reescrever a EDO da seguinte forma:
Dessa maneira, conseguimos expressar
em função de
, o que facilita a resolução.
Passo 3
Agora, vamos tentar separar as variáveis
e
. Dividimos ambos os lados da equação por
:
Isso nos permite expressar
em termos de
, preparando o terreno para integração.
Passo 4
Observamos que a equação ainda está complexa para integração direta. Vamos tentar simplificar o lado esquerdo dividindo numerador e denominador por
:
Vamos introduzir uma substituição para simplificar a expressão. Seja
, então
e
.
Passo 5
Substituindo
e
na equação, temos:
Simplificando os termos, podemos rearranjar a equação para isolar
.
Passo 6
Após simplificar, isolamos
:
Simplificando o lado esquerdo:
Isso reduz a equação a uma forma mais manejável para integração.
Passo 7
Integrando ambos os lados, obtemos:
A integral do lado direito resulta em
, onde
é a constante de integração.
Passo 8
Depois de integrar e simplificar, resolvemos para
em termos de
. Finalmente, substituímos
para encontrar
em função de
.
Resposta
A solução da EDO é dada por:
onde a função específica é determinada a partir das integrais calculadas e da condição inicial
.