Resolva as EDO { xy dx - x^2 dy = y * raiz(x^2 + y^2) dy y(0) = 1 }

Passo 1

Vamos resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
com a condição inicial .
Para resolver essa EDO, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, como manipulação de equações diferenciais e métodos de integração. Precisaremos reorganizar a equação para torná-la mais simples e identificar se é possível separá-la ou aplicar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar os termos que contêm e . Podemos reescrever a EDO da seguinte forma:
Dessa maneira, conseguimos expressar em função de , o que facilita a resolução.

Passo 3

Agora, vamos tentar separar as variáveis e . Dividimos ambos os lados da equação por :
Isso nos permite expressar em termos de , preparando o terreno para integração.

Passo 4

Observamos que a equação ainda está complexa para integração direta. Vamos tentar simplificar o lado esquerdo dividindo numerador e denominador por :
Vamos introduzir uma substituição para simplificar a expressão. Seja , então e .

Passo 5

Substituindo e na equação, temos:
Simplificando os termos, podemos rearranjar a equação para isolar .

Passo 6

Após simplificar, isolamos :
Simplificando o lado esquerdo:
Isso reduz a equação a uma forma mais manejável para integração.

Passo 7

Integrando ambos os lados, obtemos:
A integral do lado direito resulta em , onde é a constante de integração.

Passo 8

Depois de integrar e simplificar, resolvemos para em termos de . Finalmente, substituímos para encontrar em função de .

Resposta

A solução da EDO é dada por:
çã
onde a função específica é determinada a partir das integrais calculadas e da condição inicial .

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