Calcular as integrais abaixo: integral4^1(2 x^2+6 x-2) d x;

Passo 1

Vamos calcular a integral definida integral4^1(2 x^2+6 x-2) dx. Esse exercício é de cálculo integral, especificamente de integrais definidas. Para resolver, vamos precisar saber como encontrar antiderivadas e aplicar o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada da função 2x^2 + 6x - 2. Para isso, integramos cada termo separadamente:
  • integral 2x^2 dx = 2 cdot x^33 = 23x^3
  • integral 6x dx = 6 cdot x^22 = 3x^2
  • integral (-2) dx = -2x
Então, a antiderivada completa é 23x^3 + 3x^2 - 2x.

Passo 3

Agora, aplicamos o teorema fundamental do cálculo, que diz que a integral definida de a até b de uma função f(x)dx é igual à antiderivada avaliada em b menos avaliada em a. Assim, temos:
[ 23x^3 + 3x^2 - 2x ]4^1 = ( 23(1)^3 + 3(1)^2 - 2(1) ) - ( 23(4)^3 + 3(4)^2 - 2(4) )

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
Para x = 1:
23(1) + 3(1) - 2 = 23 + 3 - 2 = 23 + 1 = 53
Para x = 4:
23(64) + 3(16) - 8 = 1283 + 48 - 8 = 1283 + 40 = 128 + 1203 = 2483

Passo 5

Subtraindo os resultados:
53 - 2483 = -2433 = -81

Resposta

-81

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