Resolva as EDO d r / d θ r sec(θ) = cos(θ)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . O conteúdo que vamos usar aqui é o de equações diferenciais ordinárias (EDOs) e técnicas de integração. Precisaremos manipular a equação para isolarmos e, em seguida, integrar para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Sabemos que é igual a , então podemos reescrever a equação assim:
Multiplicando ambos os lados por cos(theta) para eliminar o denominador:

Passo 3

Agora, observe que é igual a . Isso é uma técnica de substituição que facilita a integração. Então, temos:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a theta:
O lado esquerdo simplifica para :
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver a integral , usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão para :
Finalmente, isolamos r tirando a raiz quadrada:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde C é a constante de integração.

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