Calcular as integrais: b)
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui a gente tá lidando com a função delta de Dirac,
, aplicada em
. Para resolver isso, vamos precisar entender onde
é igual a zero e como a função delta atua nessas situações.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir para quais valores de
dentro do intervalo
a
a função
é igual a zero. Sabemos que
quando
e
.
Passo 3
Agora, vamos usar uma propriedade importante da função delta de Dirac:
, onde
são as raízes de
. No nosso caso,
, então precisamos calcular a derivada de
, que é
.
Passo 4
Vamos aplicar essa propriedade para
:
Sabendo que
e
, os denominadores ficam ambos iguais a 1. Então, temos:
Passo 5
Substituindo isso na nossa integral original:
A função delta de Dirac tem a propriedade de “capturar” o valor da função multiplicada por ela no ponto onde o delta está localizado.
Passo 6
Aplicando essa propriedade, a integral se simplifica para:
Resposta
O valor da integral é
.
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;
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para: d)
.
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;
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onde
é uma função arbitrária do argumento
.