Computar as integrais: c) integral|z+1|=4 z d ze^z+3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O enunciado é:
integral|z+1|=4 z , dze^z + 3
Aqui, estamos trabalhando com integrais de contorno no plano complexo. Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais ao redor de caminhos fechados identificando os “resíduos” das funções dentro desse caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pólos da função dentro do caminho de integração. Os pólos são os valores de e^z + 3 = 0 Rightarrow e^z = -3 que fazem o denominador zero, ou seja, resolvemos:
z = ln(3) + i(pi + 2kpi)
Para resolver , lembramos que . Queremos que isso seja igual a -3, que é . Então:
  • A parte imaginária: , onde é inteiro.
  • A parte real:
Como , para o lado real ser -3, deve ser -1. Então .
Assim, as soluções são:
Agora, precisamos encontrar quais desses pólos estão dentro do círculo .

Passo 3

Vamos verificar para qual valor de |zk + 1| = |ln(3) + 1 + i(pi + 2kpi)| = raiz(ln(3) + 1)^2 + (pi + 2kpi)^2, o pólo raiz(ln(3) + 1)^2 + (pi + 2kpi)^2 < 4 está dentro do círculo raiz(ln(3) + 1)^2 + pi^2 approx raiz(1.0986 + 1)^2 + 9.8696 approx raiz4.394 + 9.8696 approx raiz14.2636 approx 3.776 < 4.
Calculando a distância de raiz(ln(3) + 1)^2 + (3pi)^2 approx raiz4.394 + 88.826 approx raiz93.22 approx 9.66 > 4 até -1:
Queremos que isso seja menor que 4:
Vamos testar alguns valores de :
  • Para :
  • Para :
Então, apenas resulta em um pólo dentro do círculo.

Passo 4

Agora que identificamos que há um único pólo dentro do nosso caminho de integração, podemos aplicar o Teorema dos Resíduos. A integral ao redor de um caminho fechado é igual a integral|z+1|=4 z , dze^z + 3 = 2pi i cdot Res(ze^z + 3, z0) vezes a soma dos resíduos dentro desse caminho.
Então:
onde

Passo 5

Vamos calcular o resíduo Res(ze^z + 3, z0) = z0e^z0 cdot 1 = z0e^z0.
Como o denominador tem um zero de ordem 1 em Res = z0-3 = -z03, o resíduo é:
Sabemos que , então:

Passo 6

Substituindo o resíduo na fórmula da integral:
integral|z+1|=4 z , dze^z + 3 = 2pi i cdot (-z03) = -2pi i z03
Lembrando que integral|z+1|=4 z , dze^z + 3 = -2pi i (ln(3) + ipi)3:

Resposta

A integral vale:
-2pi i (ln(3) + ipi)3

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