Computar as integrais: c)
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com integrais de contorno no plano complexo. Para resolver isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais ao redor de caminhos fechados identificando os “resíduos” das funções dentro desse caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pólos da função dentro do caminho de integração. Os pólos são os valores de
que fazem o denominador zero, ou seja, resolvemos:
Para resolver
, lembramos que
. Queremos que isso seja igual a -3, que é
. Então:
- A parte imaginária:
, onde é inteiro. - A parte real:
Como
, para o lado real ser -3,
deve ser -1. Então
.
Assim, as soluções são:
Agora, precisamos encontrar quais desses pólos estão dentro do círculo
.
Passo 3
Vamos verificar para qual valor de
, o pólo
está dentro do círculo
.
Calculando a distância de
até -1:
Queremos que isso seja menor que 4:
Vamos testar alguns valores de
:
-
Para
: -
Para
:
Então, apenas
resulta em um pólo dentro do círculo.
Passo 4
Agora que identificamos que há um único pólo dentro do nosso caminho de integração, podemos aplicar o Teorema dos Resíduos. A integral ao redor de um caminho fechado é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro desse caminho.
Então:
onde
Passo 5
Vamos calcular o resíduo
.
Como o denominador tem um zero de ordem 1 em
, o resíduo é:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Substituindo o resíduo na fórmula da integral:
Lembrando que
:
Resposta
A integral vale:
Exercícios relacionados
Encontrar os resíduos nos pontos singulares da função
para: d)
.
Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função
para: e)
.
Calcular as integrais: b)
;
Calcular as integrais: e)
;