Determinar resultado de ação de operadores diferenciais vetoriais
onde
é uma função arbitrária do argumento
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir o resultado da ação do operador gradiente na função
, onde
e
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do gradiente de uma função escalar que depende da distância
em um espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos usar as definições de gradiente e a relação entre coordenadas cartesianas e coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o operador gradiente. O gradiente de uma função escalar
é um vetor que aponta na direção de maior taxa de variação de
e tem magnitude igual à taxa de variação nessa direção. Matematicamente, no espaço tridimensional cartesiano, o gradiente é dado por:
Passo 3
No nosso caso,
é uma função de
, ou seja,
, onde
. Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Sabemos que:
Então,
Passo 4
De forma semelhante, calculamos as derivadas parciais em relação a
e
:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do gradiente:
Podemos fatorar
:
Passo 6
Lembrando que
, podemos escrever:
Isso significa que o gradiente de
é na direção de
e sua magnitude é
.
Resposta
O gradiente de
é dado por:
Exercícios relacionados
Calcular as integrais: e)
;
Calcular as integrais: b)
;
Determinar resultado de ação de operadores diferenciais vetoriais
onde
é uma função arbitrária do argumento
.
Resolva as integrais: