Determinar resultado de ação de operadores diferenciais vetoriais
grad(f(r))
onde r = i x + j y + k z, f(r) é uma função arbitrária do argumento r = raiz(x^2 + y^2 + z^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir o resultado da ação do operador gradiente na função , onde e . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do gradiente de uma função escalar que depende da distância em um espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos usar as definições de gradiente e a relação entre coordenadas cartesianas e coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o operador gradiente. O gradiente de uma função escalar é um vetor que aponta na direção de maior taxa de variação de e tem magnitude igual à taxa de variação nessa direção. Matematicamente, no espaço tridimensional cartesiano, o gradiente é dado por:

Passo 3

No nosso caso, é uma função de , ou seja, , onde . Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .
Primeiro, derivamos em relação a :
Sabemos que:
Então,

Passo 4

De forma semelhante, calculamos as derivadas parciais em relação a e :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na expressão do gradiente:
Podemos fatorar :

Passo 6

Lembrando que , podemos escrever:
Isso significa que o gradiente de é na direção de e sua magnitude é .

Resposta

O gradiente de é dado por:

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Determinar resultado de ação de operadores diferenciais vetoriais
d) (r ∇) f(r)
onde r = i x + j y + k z, f(r) é uma função arbitrária do argumento r = raiz(x^2 + y^2 + z^2).
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