Calcular as integrais: e) integral-infty^infty cos (omega x) de;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral envolvendo a função cosseno e a segunda derivada da função delta de Dirac. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função delta e suas derivadas atuam nas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função delta de Dirac, , tem a propriedade especial de “pegar” o valor da função que está multiplicando ela no ponto onde . Ou seja, .

Passo 3

Agora, quando temos a derivada da função delta, como , a propriedade se estende para envolver derivadas da função que está sendo multiplicada. Especificamente, . Isso significa que para calcular a integral, precisamos achar a segunda derivada de e avaliar em .

Passo 4

No nosso caso, a função f'(x) = -omega sin(omega x) é f''(x) = -omega^2 cos(omega x) . Vamos calcular a segunda derivada dessa função:
Portanto, .

Resposta

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