Encontrar os resíduos nos pontos singulares da função
para: d)
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar os resíduos nos pontos singulares dessa função. Resíduos são coeficientes importantes na análise de funções complexas, especialmente para calcular integrais ao redor de singularidades. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a expansão em série de Laurent da função e identificar o coeficiente do termo
, que é o resíduo.
Passo 2
Vamos identificar os pontos singulares da função
. A função
apresenta singularidade em
, porque
não está definida em
. Portanto, o único ponto singular de
é
.
Passo 3
Para encontrar o resíduo em
, precisamos expandir
em uma série de Laurent ao redor de
. Sabemos que a série de Taylor para
é:
Substituindo
, temos:
Multiplicando por
para obter
:
Passo 4
Agora, para encontrar o resíduo, precisamos identificar o coeficiente do termo
na série de Laurent de
. Comparando os expoentes:
Isso significa que o termo com
ocorre quando
.
Passo 5
Calculando o coeficiente para
:
Resposta
O resíduo da função
em
é
.
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para: e)
.
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Justifique sua resposta.
Computar as integrais: c)
;
Calcular as integrais: b)
;