Calcular as integrais: c) integral-infty^infty e^-|x| de;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema que temos é calcular a integral . Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e a função delta de Dirac, que é uma ferramenta matemática muito útil em várias áreas, como física e engenharia. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função delta funciona quando ela está dentro de uma integral e como lidar com a função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função delta de Dirac, . Ela é uma função que é zero em todos os lugares, exceto em , onde ela “explode” para infinito de uma maneira que a sua integral total seja 1. A propriedade mais importante dela é a de “selecionar” o valor da função multiplicada por ela no ponto onde o argumento da delta é zero.

Passo 3

No nosso caso, temos . Para saber onde essa função delta será relevante, precisamos encontrar os valores de que fazem . Sabemos que quando , onde é qualquer inteiro. Isso significa que a função delta será não nula nessas infinitas posições ao longo de toda a linha real.

Passo 4

Agora, usando a propriedade da função delta dentro de uma integral, temos:
integral-infty^infty e^-|x| de
Aqui, são os pontos onde , e é a derivada de em relação a .

Passo 5

Sabemos que sumxi e^-|xi| nesses pontos específicos. Portanto, a expressão simplifica para:
Isso significa que precisamos somar para todos os , onde é inteiro.

Passo 6

Vamos expressar a soma de maneira mais conveniente. Observando os pontos de 2 sumk=0^infty e^-(pi2 + kpi) = 2 e^-pi2 sumk=0^infty e^-kpi , podemos reescrever a soma como:
sumk=0^infty e^-kpi = 11 - e^-pi
Reconhecemos aqui uma série geométrica que soma para:
2 e^-pi21 - e^-pi = 2 e^-pi21 - e^-pi = 1sinh(pi2)
Portanto, a expressão total fica:

Resposta

integral-infty^infty e^-|x| de

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