Calcular as integrais: c)
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema que temos é calcular a integral
. Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e a função delta de Dirac, que é uma ferramenta matemática muito útil em várias áreas, como física e engenharia. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função delta funciona quando ela está dentro de uma integral e como lidar com a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função delta de Dirac,
. Ela é uma função que é zero em todos os lugares, exceto em
, onde ela “explode” para infinito de uma maneira que a sua integral total seja 1. A propriedade mais importante dela é a de “selecionar” o valor da função multiplicada por ela no ponto onde o argumento da delta é zero.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Para saber onde essa função delta será relevante, precisamos encontrar os valores de
que fazem
. Sabemos que
quando
, onde
é qualquer inteiro. Isso significa que a função delta será não nula nessas infinitas posições ao longo de toda a linha real.
Passo 4
Agora, usando a propriedade da função delta dentro de uma integral, temos:
Aqui,
são os pontos onde
, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Sabemos que
nesses pontos específicos. Portanto, a expressão simplifica para:
Isso significa que precisamos somar
para todos os
, onde
é inteiro.
Passo 6
Vamos expressar a soma de maneira mais conveniente. Observando os pontos de
, podemos reescrever a soma como:
Reconhecemos aqui uma série geométrica que soma para:
Portanto, a expressão total fica:
Resposta
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A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante.
em torno de
.
Variable density A solid is bounded on the top by the paraboloid
, on the bottom by the plane
, and on the sides by the cylinder
. Find the center of mass and the moment of inertia about the
-axis if the density is
Sphere and cones Find the volume of the portion of the solid sphere
that lies between the cones
and
.
Determinar resultado de ação de operadores diferenciais vetoriais
onde
é uma função arbitrária do argumento
.