Variable density A solid is bounded on the top by the paraboloid , on the bottom by the plane , and on the sides by the cylinder . Find the center of mass and the moment of inertia about the -axis if the density is
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o centro de massa e o momento de inércia de um sólido com densidade variável. O sólido está limitado por uma paraboloide no topo, o plano na base e um cilindro lateral . A densidade é dada por . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo multivariado, especialmente integrais em coordenadas cilíndricas, para calcular a massa, o centro de massa e o momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa total do sólido. Sabemos que a massa é dada pela integral da densidade sobre o volume. Em coordenadas cilíndricas, a massa é:
Aqui, varia de 0 a 1, de 0 a , e de 0 a (porque o topo é a paraboloide).
Passo 3
Vamos resolver a integral para a massa:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a massa fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as coordenadas do centro de massa . Devido à simetria do sólido, sabemos que e . Vamos calcular :
Passo 5
Vamos resolver a integral para :
Então:
Então, .
Passo 6
Por fim, vamos calcular o momento de inércia sobre o eixo . A fórmula para o momento de inércia em coordenadas cilíndricas é:
Simplificando:
Passo 7
Vamos resolver a integral para :
Então:
Resposta
O centro de massa do sólido é e o momento de inércia sobre o eixo é .