Sphere and cones Find the volume of the portion of the solid sphere
that lies between the cones
and
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume da parte de uma esfera sólida definida por
que está entre dois cones: um com
e outro com
. Vamos usar coordenadas esféricas para isso. Precisaremos entender como calcular volumes em coordenadas esféricas e como os cones delimitam a região que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por três parâmetros:
(a distância do ponto à origem),
(o ângulo no plano xy) e
(o ângulo desde o eixo z). A equação da esfera é
, e os cones são definidos pelos ângulos
e
.
Passo 3
Para encontrar o volume entre os dois cones dentro da esfera, vamos usar a fórmula do volume em coordenadas esféricas:
Aqui,
é o elemento de volume em coordenadas esféricas.
Passo 4
Vamos definir os limites de integração:
- Para
, varia de 0 a (pois estamos dentro da esfera ). - Para
, varia de a (entre os dois cones). - Para
, como não há restrição em torno do eixo z, varia de 0 a .
Passo 5
Agora, vamos integrar em ordem. Primeiro, integramos com relação a
:
Passo 6
Em seguida, integramos com relação a
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 7
Por fim, integramos com relação a
:
Passo 8
Agora, multiplicamos todos os resultados das integrações:
Resposta
O volume da região desejada é
.
Exercícios relacionados
Calcular as integrais: c)
;
A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante.
em torno de
.
Determinar resultado de ação de operadores diferenciais vetoriais
onde
é uma função arbitrária do argumento
.
Econtrar o fluxo do campo vetorial
por superfície de uma esfera de raio
e com seu centro na origem, onde o campo escrito nas coordenadas esfericas é
,
é constante.