Sphere and cones Find the volume of the portion of the solid sphere rho <= a that lies between the cones phi = pi / 3 and phi = 2 * pi / 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume da parte de uma esfera sólida definida por rho <= a que está entre dois cones: um com e outro com . Vamos usar coordenadas esféricas para isso. Precisaremos entender como calcular volumes em coordenadas esféricas e como os cones delimitam a região que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por três parâmetros: rho (a distância do ponto à origem), theta (o ângulo no plano xy) e phi (o ângulo desde o eixo z). A equação da esfera é rho <= a, e os cones são definidos pelos ângulos e .

Passo 3

Para encontrar o volume entre os dois cones dentro da esfera, vamos usar a fórmula do volume em coordenadas esféricas:
Aqui, é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 4

Vamos definir os limites de integração:
  • Para rho, varia de 0 a a (pois estamos dentro da esfera rho <= a).
  • Para phi, varia de a (entre os dois cones).
  • Para theta, como não há restrição em torno do eixo z, varia de 0 a .

Passo 5

Agora, vamos integrar em ordem. Primeiro, integramos com relação a rho:

Passo 6

Em seguida, integramos com relação a phi:
Sabemos que e , então:

Passo 7

Por fim, integramos com relação a theta:

Passo 8

Agora, multiplicamos todos os resultados das integrações:

Resposta

O volume da região desejada é .

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