A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante.
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região delimitada por algumas curvas ao redor de um eixo específico. As curvas envolvidas são:
-
(uma parábola) -
(o eixo x) -
(uma linha vertical)
E o eixo de rotação é
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. As curvas
,
e
formam uma área que vai de
a
, sob a curva
. Essa será a nossa área de integração.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno do eixo
, precisamos pensar em como isso afeta o cálculo do volume. Nesse caso, vamos usar o método dos anéis/cilindros, que considera a distância entre o eixo de rotação e a função.
Passo 4
A fórmula para o volume usando o método dos anéis é:
Onde:
-
é a distância do eixo de rotação até a curva externa. -
é a distância do eixo de rotação até a curva interna.
Passo 5
No nosso caso, a curva externa é
e a curva interna é
. O eixo de rotação está em
, então a distância
é a distância horizontal de
até
, que é
.
Já a distância
é a distância do eixo de rotação até a curva interna
, que também é
porque a curva interna está sobre o eixo x.
Passo 6
No entanto, como a curva interna é
, na verdade não temos uma “curva interna” diferente da externa, então
. Então, a fórmula simplifica para:
Com
.
Passo 7
Agora, substituímos
na fórmula:
Vamos expandir
para facilitar a integração:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Passo 9
Avaliar os limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 10
Subtraindo os valores:
Resposta
O volume do sólido resultante é
unidades cúbicas.
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, on the bottom by the plane
, and on the sides by the cylinder
. Find the center of mass and the moment of inertia about the
-axis if the density is
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;
Calcular as integrais: c)
;
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that lies between the cones
and
.