A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante.
y = raiz(x), y = 0, x = 1 em torno de x = -1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região delimitada por algumas curvas ao redor de um eixo específico. As curvas envolvidas são:
  • (uma parábola)
  • (o eixo x)
  • (uma linha vertical)
E o eixo de rotação é . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. As curvas , e formam uma área que vai de a , sob a curva . Essa será a nossa área de integração.

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno do eixo , precisamos pensar em como isso afeta o cálculo do volume. Nesse caso, vamos usar o método dos anéis/cilindros, que considera a distância entre o eixo de rotação e a função.

Passo 4

A fórmula para o volume usando o método dos anéis é:
Onde:
  • é a distância do eixo de rotação até a curva externa.
  • é a distância do eixo de rotação até a curva interna.

Passo 5

No nosso caso, a curva externa é e a curva interna é . O eixo de rotação está em , então a distância é a distância horizontal de até , que é .
Já a distância é a distância do eixo de rotação até a curva interna , que também é porque a curva interna está sobre o eixo x.

Passo 6

No entanto, como a curva interna é , na verdade não temos uma “curva interna” diferente da externa, então . Então, a fórmula simplifica para:
Com .

Passo 7

Agora, substituímos na fórmula:
Vamos expandir para facilitar a integração:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:

Passo 9

Avaliar os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 10

Subtraindo os valores:

Resposta

O volume do sólido resultante é unidades cúbicas.

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