Determinar resultado de ação de operadores diferenciais vetoriais
onde
é uma função arbitrária do argumento
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o resultado da ação do operador divergente aplicado a
. Aqui estamos trabalhando com cálculo vetorial, mais especificamente com operadores diferenciais como a divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a divergente de um campo vetorial e aplicar a regra do produto quando temos uma função multiplicando um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a divergente. A divergente de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso, o campo vetorial é
, onde
e
.
Passo 3
Vamos expandir
:
Agora, identificamos as componentes:
Passo 4
Aplicamos a fórmula da divergente:
Para cada derivada parcial, usamos a regra do produto, que diz que
.
Passo 5
Calculamos as derivadas parciais de
:
Então, cada termo da divergente fica:
Fazemos o mesmo para as outras componentes.
Passo 6
Somando todas as componentes:
Sabendo que
, substituímos: