Determinar resultado de ação de operadores diferenciais vetoriais
div(f(r) r)
onde r = i x + j y + k z, f(r) é uma função arbitrária do argumento r = raiz(x^2 + y^2 + z^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o resultado da ação do operador divergente aplicado a . Aqui estamos trabalhando com cálculo vetorial, mais especificamente com operadores diferenciais como a divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a divergente de um campo vetorial e aplicar a regra do produto quando temos uma função multiplicando um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a divergente. A divergente de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, o campo vetorial é , onde e .

Passo 3

Vamos expandir :
Agora, identificamos as componentes:

Passo 4

Aplicamos a fórmula da divergente:
Para cada derivada parcial, usamos a regra do produto, que diz que .

Passo 5

Calculamos as derivadas parciais de :
Então, cada termo da divergente fica:
Fazemos o mesmo para as outras componentes.

Passo 6

Somando todas as componentes:
Sabendo que , substituímos:

Resposta

Exercícios relacionados